Preskočiť na obsah

Princíp virtuálnej práce

Na základe rovnice rovnováhy a okrajových podmienok odvodených v Napätí a zákonoch zachovania odvodíme princíp virtuálnej práce, ktorý predstavuje slabú formuláciu okrajovej úlohy mechaniky kontinua. Diskretizácia metódou konečných prvkov vychádza z tejto slabej formulácie. Táto kapitola uvádza formuláciu v aktuálnej konfigurácii (vyjadrenú pomocou Cauchyho napätia a lineárnej časti Almansiho deformácie) aj formuláciu v referenčnej konfigurácii (vyjadrenú pomocou druhého Piolovho-Kirchhoffovho napätia a Greenovej-Lagrangeovej deformácie), ukazuje ich ekvivalenciu a následne overuje redukciu na malé deformácie.

Rovnica rovnováhy a okrajové podmienky

Nech \(\boldsymbol{g}\) je objemová sila pôsobiaca na kontinuum na jednotku hmotnosti a uvažujme teleso zaberajúce v aktuálnej konfigurácii oblasť \(\Omega\). Hranica \(\Gamma\) sa rozdelí na geometrickú hranicu \(\Gamma_B\), na ktorej je predpísané posunutie \(\bar{\boldsymbol{u}}\), a mechanickú hranicu \(\Gamma_t\), na ktorej je predpísané povrchové zaťaženie \(\bar{\boldsymbol{t}}\), pričom \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) a \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Pre statickú úlohu sa rovnica rovnováhy získa vynechaním zotrvačného člena zo zákona zachovania hybnosti uvedeného v Napätí a zákonoch zachovania:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ \Omega \]

Okrajové podmienky sú

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

Ďalej sa princíp virtuálnej práce odvodí ako slabá formulácia rovnice rovnováhy a mechanickej okrajovej podmienky \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Geometrická okrajová podmienka \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) je zahrnutá voľbou testovacej funkcie.

Slabá formulácia v aktuálnej konfigurácii

V slabej formulácii definujme prípustný priestor neznámeho posunutia a priestor testovacích funkcií ako

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]

Tu \(d\) označuje priestorovú dimenziu, \(H^1(\Omega)\) je Sobolevov priestor funkcií, ktoré sú spolu so svojimi prvými slabými deriváciami štvorcovo integrovateľné, a \(\delta\) označuje variáciu. V reprezentácii aktuálnej konfigurácie je \(\Omega\) deformovaná konfigurácia; pri skutočnom numerickom riešení sa transformuje späť do referenčnej konfigurácie alebo do známej medzikonfigurácie.

Vynásobením rovnice rovnováhy váhovou funkciou \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) a použitím Gaussovej vety o divergencii a mechanickej okrajovej podmienky dostaneme nasledujúci princíp virtuálnej práce v aktuálnej konfigurácii.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Tu \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) je lineárna časť Almansiho tenzora deformácie, definovaná ako

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Jej variácia je \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Hľadáme teda \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tak, aby rovnica virtuálnej práce platila pre každé \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Ľavá strana predstavuje virtuálnu prácu vnútorných síl, zatiaľ čo pravá strana predstavuje virtuálnu prácu vonkajších síl spôsobených predpísaným povrchovým zaťažením a objemovou silou.

Keďže je táto rovnica zapísaná na deformovanej oblasti (v aktuálnej konfigurácii), pri skutočnom riešení sa ako referenčná konfigurácia znovu zvolí počiatočná konfigurácia \(\Omega_0\) alebo známa medzikonfigurácia, rovnica sa prepíše do inkrementálneho tvaru a následne sa rieši. Konkrétnu voľbu referenčnej konfigurácie (úplná Lagrangeova / aktualizovaná Lagrangeova formulácia) a inkrementálny rozklad nájdete v Rámci inkrementálnej analýzy.

Slabá formulácia v počiatočnej konfigurácii

Uvažujme teleso zaberajúce v referenčnej konfigurácii oblasť \(\Omega_0\), pričom hranica \(\Gamma_0\) je rozdelená na \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Transformáciou reprezentácie z aktuálnej konfigurácie späť do referenčnej konfigurácie získame konjugovanú dvojicu druhého Piolovho-Kirchhoffovho napätia \(\boldsymbol{S}\) a Greenovej-Lagrangeovej deformácie \(\boldsymbol{E}\). Princíp virtuálnej práce v počiatočnej konfigurácii potom je

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Tu \(\rho_0\) je hustota hmotnosti v referenčnej konfigurácii a podľa vzťahu zachovania hmotnosti \(\rho_0 = J\rho\) je tento zápis ekvivalentný reprezentácii objemovej sily v aktuálnej konfigurácii.

Ekvivalencia reprezentácií v aktuálnej a počiatočnej konfigurácii

Virtuálna práca vnútorných síl v oboch reprezentáciách sa zhoduje vďaka transformácii pomocou gradientu deformácie \(\boldsymbol{F}\) a objemového pomeru \(J = \det \boldsymbol{F}\), teda

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Členy vonkajších síl sú takisto ekvivalentné vďaka zachovaniu hmotnosti a transformácii povrchového zaťaženia. Rovnica virtuálnej práce v aktuálnej konfigurácii a rovnica v počiatočnej konfigurácii preto vyjadrujú ten istý princíp v rôznych konfiguráciách. Metóda riešenia vzťahujúca sa na referenčnú konfiguráciu zodpovedá úplnej Lagrangeovej metóde, zatiaľ čo metóda vzťahujúca sa na aktuálnu konfiguráciu (bezprostredne predchádzajúcu konvergovanú konfiguráciu) zodpovedá aktualizovanej Lagrangeovej metóde.

Redukcia na malé deformácie

Za predpokladov malých deformácií \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) a \(J \approx 1\) zaniká rozdiel medzi aktuálnou a referenčnou konfiguráciou, druhé PK napätie sa stotožní s Cauchyho napätím (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) a Greenova-Lagrangeova deformácia aj lineárna časť Almansiho deformácie sa redukujú na infinitézimálnu deformáciu \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Princíp virtuálnej práce sa potom redukuje na slabú formuláciu vyjadrenú pomocou Cauchyho napätia \(\boldsymbol{\sigma}\) a infinitézimálnej deformácie \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

Toto je slabá formulácia používaná priamo pri diskretizácii lineárne elastickej statickej analýzy s malými deformáciami (Lineárne elastická statická analýza (úvod a dodatok) vychádza z tohto tvaru a ukazuje zostavenie prvkovej tuhosti \(\boldsymbol{K}^e\) prostredníctvom zostavenia globálnej rovnice \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Dosadením lineárne elastického konštitutívneho zákona \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) a zápisom \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) vo Voigtovom zápise nadobudne slabá formulácia tvar

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ktorý má tento tvar.

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status