Napätie a zákony zachovania¶

Táto kapitola usporadúva definície a vzájomné vzťahy tenzorov napätia spolu s rovnicami rovnováhy a symetriou napätia odvodenými zo zákonov zachovania hmotnosti, lineárnej hybnosti a momentu hybnosti. Tri tenzory napätia — Cauchyho napätie \(\boldsymbol{\sigma}\), prvé Piola-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{P}\) a druhé Piola-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{S}\) — sa zavádzajú podľa toho, ktorá konfigurácia sa používa pre referenčnú plochu a vektor sily. Definície konfigurácie, pohybu a gradientu deformácie pozri v Pohyb, deformácia a pretvorenie a zoznam symbolov v Zoznam symbolov fyzikálnych veličín.

Cauchyho tenzor napätia¶

Nech \(d\boldsymbol{f}\) je sila pôsobiaca na infinitezimálnu plochu v bode \(\boldsymbol{x}\) v aktuálnej konfigurácii (plocha \(d\Gamma\), vonkajšia jednotková normála \(\boldsymbol{n}\)) a definujme vektor plošného napätia \(\boldsymbol{t}\) ako silu na jednotku plochy vzťahom \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) závisí od polohy \(\boldsymbol{x}\) aj od normály \(\boldsymbol{n}\). Aplikácia zákona zachovania hybnosti na infinitezimálny tetraéder ukazuje, že \(\boldsymbol{t}\) je lineárny v \(\boldsymbol{n}\), takže existuje tenzor druhého rádu \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) taký, že

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

pre ľubovoľné \(\boldsymbol{n}\) (Cauchyho veta o napätí). Tento tenzor \(\boldsymbol{\sigma}\) sa nazýva Cauchyho tenzor napätia a tiež skutočné napätie, pretože vyjadruje silu na jednotku plochy meranú vzhľadom na geometriu aktuálnej konfigurácie. Zložka \(\sigma_{ij}\) predstavuje zložku sily na jednotku plochy v smere \(x_i\) pôsobiacu na infinitezimálnu plochu kolmú na súradnicovú os \(x_j\) v aktuálnej konfigurácii.

Ako sa ďalej ukáže zo zákona zachovania momentu hybnosti, Cauchyho napätie je symetrický tenzor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

V troch rozmeroch má preto šesť nezávislých zložiek (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorizácia napätia vo Voigtovom zápise predpokladá túto symetriu (pozri Tenzorový zápis a matematické základy). Cauchyho napätie sa vo FrontISTR používa na výstup napätia pri geometricky nelineárnej analýze metódou Updated Lagrange a pri analýze malých deformácií.

Prvé a druhé Piola-Kirchhoffovo napätie¶

Pri konečnej deformácii je často vhodné vyjadrovať napätie vzhľadom na plochy a vektory v referenčnej konfigurácii, preto sa zavádzajú dva Piola-Kirchhoffove tenzory napätia. Nech plocha infinitezimálnej plochy v referenčnej konfigurácii je \(d\Gamma_0\) a jej vonkajšia jednotková normála \(\boldsymbol{N}\).

Prvé Piola-Kirchhoffovo napätie (prvé PK napätie, nominálne napätie) \(\boldsymbol{P}\) je definované ako tenzor napätia získaný, keď sila \(d\boldsymbol{f}\) v aktuálnej konfigurácii pôsobí na infinitezimálnu plochu v referenčnej konfigurácii:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Použitím Nansonovho vzťahu \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) spolu s Cauchyho vetou o napätí dostaneme vzťah ku Cauchyho napätiu

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Prvé PK napätie je vo všeobecnosti nesymetrické.

Druhé Piola-Kirchhoffovo napätie (druhé PK napätie) \(\boldsymbol{S}\) je definované ako tenzor napätia získaný spätným zobrazením sily \(d\boldsymbol{f}\) z aktuálnej konfigurácie do referenčnej konfigurácie pomocou \(\boldsymbol{F}^{-1}\) a jej aplikovaním na infinitezimálnu plochu v referenčnej konfigurácii:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Vektor sily aj plocha, na ktorú pôsobí, sú vyjadrené veličinami referenčnej konfigurácie, preto je toto napätie invariantné voči rotácii tuhého telesa a symetrické. Jeho vzťah k prvému PK napätiu a transformácia z Cauchyho napätia sú

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Druhé PK napätie sa odvodzuje z hyperelastickej funkcie deformačnej energie \(W(\boldsymbol{C})\) ako \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) a v metóde Total Lagrange sa používa spolu s Green-Lagrangeovým pretvorením \(\boldsymbol{E}\) ako energeticky konjugovaná dvojica \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referenčné konfigurácie a vlastnosti symetrie sú zhrnuté nižšie. V limite malých deformácií (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) sa všetky tri napätia zhodujú.

Tenzor napätia	Referenčná plocha	Vektor sily	Symetria	Použitie
Cauchyho napätie \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuálna konfigurácia \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuálna konfigurácia \(d\boldsymbol{f}\)	Symetrické	Metóda Updated Lagrange / analýza malých deformácií
Prvé PK napätie \(\boldsymbol{P}\)	Referenčná konfigurácia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuálna konfigurácia \(d\boldsymbol{f}\)	Vo všeobecnosti nesymetrické	Rovnice rovnováhy v referenčnej konfigurácii
Druhé PK napätie \(\boldsymbol{S}\)	Referenčná konfigurácia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referenčná konfigurácia \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symetrické	Metóda Total Lagrange / hyperelasticita

Zachovanie hmotnosti a hybnosti a rovnice rovnováhy¶

Nech \(\rho\) je hustota hmotnosti v aktuálnej konfigurácii a \(\rho_0\) hustota hmotnosti v referenčnej konfigurácii. Zákon zachovania hmotnosti \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) spolu s transformáciou objemového elementu \(dv = J\, dV\) vedie na lokálny tvar

\[ \rho_0 = J \rho \]

Toto je lokálny vzťah zachovania hmotnosti.

Nech \(\boldsymbol{g}\) je objemová sila na jednotku hmotnosti a \(\boldsymbol{a}\) zrýchlenie. Aplikáciou Cauchyho vety o napätí a Gaussovej vety o divergencii na zákon zachovania lineárnej hybnosti (prvý Eulerov zákon pohybu) dostaneme lokálnu rovnicu rovnováhy (pohybovú rovnicu) v aktuálnej konfigurácii:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Prepísaním integrálu do referenčnej konfigurácie pomocou Nansonovho vzťahu a \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) dostaneme lokálny tvar v referenčnej konfigurácii:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Oba tvary sú ekvivalentné prostredníctvom transformačného pravidla napätia a \(\rho_0 = J\rho\). Po zanedbaní zotrvačného člena dostaneme

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

čo je rovnica statickej rovnováhy a východiskový bod statickej analýzy vo FrontISTR (lineárnej aj nelineárnej).

Zachovanie momentu hybnosti a symetria napätia¶

Kombináciou zákona zachovania momentu hybnosti (druhý Eulerov zákon pohybu) s rovnicou rovnováhy zo zákona zachovania lineárnej hybnosti získame symetriu Cauchyho tenzora napätia:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

V troch rozmeroch má teda šesť nezávislých zložiek. Transponovaním oboch strán transformácie \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) a využitím regulárnosti \(\boldsymbol{F}\) sa ukáže, že aj druhé PK napätie je symetrické:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

a preto má tiež šesť nezávislých zložiek. Naproti tomu prvé PK napätie \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) vo všeobecnosti symetrické nie je; platí iba vzťah \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (t. j. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) je symetrické) a má deväť nezávislých zložiek.

Tieto symetrie sú základom pre vyjadrenie napätia ako šesťzložkového vektora vo Voigtovom zápise. Konvencie Voigtovho zápisu a zostavenie materiálových matíc pozri v Tenzorový zápis a matematické základy a Lineárna elasticita.