Pohyb, deformácia a pretvorenie¶

Referenčná a aktuálna konfigurácia¶

Definícia konfigurácií¶

Na rozlíšenie, ktorý tvar telesa v čase sa používa ako základ na opis fyzikálnych veličín, táto príručka používa dve konfigurácie.

Referenčná konfigurácia: nedeformovaný tvar na začiatku analýzy (v čase \(0\)), nazývaný aj počiatočná konfigurácia. Bod v referenčnej konfigurácii je vyjadrený materiálovou súradnicou \(\boldsymbol{X}\), s objemom \(V\) a povrchom \(S\).
Aktuálna konfigurácia: deformovaný tvar v čase \(t\). Bod v aktuálnej konfigurácii je vyjadrený priestorovou súradnicou \(\boldsymbol{x}\), s objemom \(v\) a povrchom \(s\).

Pohyb je vyjadrený ako zobrazenie medzi týmito dvoma konfiguráciami, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), a posunutie je definované ako \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Zápis závislý od konfigurácie (veľké/malé písmená)¶

Veľkosť písmena symbolu rozlišuje konfiguráciu, ku ktorej fyzikálna veličina patrí.

Veličiny patriace referenčnej konfigurácii sa zapisujú veľkými symbolmi (napríklad \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Veličiny patriace aktuálnej konfigurácii sa zapisujú malými symbolmi (napríklad \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Veličiny prepájajúce obe konfigurácie, napríklad prvé Piolovo-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{P}\), používajú zaužívaný zápis a podľa potreby sú v texte výslovne označené.
V teórii malých deformácií rozdiel medzi oboma konfiguráciami zaniká, preto sa používajú iba malé symboly (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradient v referenčnej a aktuálnej konfigurácii¶

Zápis a význam sa líšia podľa konfigurácie, vzhľadom na ktorú sa vykonáva priestorová derivácia.

Gradient v referenčnej konfigurácii \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient vzhľadom na materiálové súradnice. Príklad: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient v aktuálnej konfigurácii \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient vzhľadom na priestorové súradnice. Príklad: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Súvisia vzťahom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Konvenciu pre časové derivácie (materiálová časová derivácia \(\dot{(\cdot)}\)) nájdete v časti Tenzorový zápis a matematické základy.

Opis pohybu¶

Zobrazenie pohybu a materiálový/priestorový opis¶

Ak sa kontinuum považuje za súbor materiálových bodov označených ich polohou \(\boldsymbol{X}\) v čase \(0\), pohyb sa vyjadrí zobrazením \(\phi\), ktoré každému materiálovému bodu \(\boldsymbol{X}\) priraďuje jeho polohu \(\boldsymbol{x}\) v čase \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Pri konvencii, podľa ktorej je referenčnou konfiguráciou počiatočná konfigurácia, platí \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Podľa voľby nezávislých premenných sa rozlišujú dva opisy.

Materiálový opis (Lagrangeov opis): fyzikálne veličiny vyjadruje ako funkcie \((\boldsymbol{X}, t)\). V mechanike tuhých telies je to prirodzená voľba, pretože referenčná konfigurácia je daná ako pevný tvar.
Priestorový opis (Eulerov opis): fyzikálne veličiny vyjadruje ako funkcie \((\boldsymbol{x}, t)\). Ide o štandardný opis v mechanike tekutín.

Štrukturálna analýza FrontISTR je v zásade založená na materiálovom opise, ale metóda Updated Lagrange používa aj veličiny priestorového opisu, pretože aktuálna konfigurácia sa používa ako nová referenčná konfigurácia.

Posunutie, rýchlosť a zrýchlenie¶

Ako bolo uvedené v predchádzajúcej časti, posunutie \(\boldsymbol{u}\) je definované vzťahom \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Na jeho veľkosť sa nekladie žiadny predpoklad, takže opis zahŕňa aj konečné deformácie. Vektory rýchlosti a zrýchlenia sú definované ako materiálové časové derivácie \(\boldsymbol{u}\) pri pevnom materiálovom bode:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Týmito rovnicami sa definujú rýchlosť a zrýchlenie.

Gradient deformácie a deformačné tenzory¶

Tenzor gradientu deformácie¶

Základnou veličinou mechaniky kontinua pri konečných deformáciách je tenzor gradientu deformácie \(\boldsymbol{F}\). Je to lineárne zobrazenie, ktoré mapuje infinitezimálny úsečkový element \(d\boldsymbol{X}\) v referenčnej konfigurácii na infinitezimálny úsečkový element \(d\boldsymbol{x}\) v aktuálnej konfigurácii, a je definované ako gradient zobrazenia pohybu vzhľadom na materiálové súradnice:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Pri tejto definícii (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) je v nedeformovanom stave \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) sa široko používa na definovanie deformácie a napätia a na transformáciu fyzikálnych veličín medzi konfiguráciami.

Pomer objemov¶

Pomer infinitezimálneho objemu \(dV\) v referenčnej konfigurácii k zodpovedajúcemu infinitezimálnemu objemu \(dv\) v aktuálnej konfigurácii sa nazýva pomer objemov \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibilita kontinua vyžaduje \(J > 0\). Zákon zachovania hmotnosti sa vyjadruje ako \(\rho_0 = J\rho\).

Pravý a ľavý Cauchyho-Greenov deformačný tenzor¶

Keďže gradient deformácie \(\boldsymbol{F}\) zahŕňa rotáciu tuhého telesa, miery samotnej deformácie používajú veličiny, z ktorých bola rotácia tuhého telesa odstránená. Pravý Cauchyho-Greenov deformačný tenzor \(\boldsymbol{C}\) (referenčná konfigurácia) a ľavý Cauchyho-Greenov deformačný tenzor \(\boldsymbol{b}\) (aktuálna konfigurácia) sú definované ako

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Oba sú symetrické tenzory a majú rovnaké vlastné hodnoty (štvorce hlavných predĺžení). Hlavné invarianty hyperelastických funkcií deformačnej energie sa vyjadrujú pomocou týchto tenzorov.

Tenzory pretvorenia¶

Greenov-Lagrangeov tenzor pretvorenia¶

Ako miera pretvorenia vzťahovaná na referenčnú konfiguráciu je Greenov-Lagrangeov tenzor pretvorenia \(\boldsymbol{E}\) definovaný vzťahom

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Je to symetrický tenzor vyjadrujúci zmenu skalárneho súčinu infinitezimálnych vektorov v referenčnej konfigurácii, je invariantný voči rotácii tuhého telesa a v nedeformovanom stave spĺňa \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Použitím \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) dostaneme

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tento vzťah vyjadruje pretvorenie ako súčet členov prvého a druhého rádu v gradiente posunutia; člen druhého rádu predstavuje geometrickú nelinearitu. V metóde Total Lagrange sa používa ako pracovne konjugovaná dvojica \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansiho tenzor pretvorenia¶

Ako miera pretvorenia vzťahovaná na aktuálnu konfiguráciu je Almansiho tenzor pretvorenia \(\boldsymbol{e}\) definovaný vzťahom

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

S Greenovým-Lagrangeovým pretvorením súvisí vzťahom \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tenzor infinitezimálneho pretvorenia¶

Keď je gradient posunutia malý (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), člen druhého rádu Greenovho-Lagrangeovho pretvorenia možno zanedbať. Keďže rozdiel medzi oboma konfiguráciami potom zaniká, výraz sa redukuje na tenzor infinitezimálneho pretvorenia \(\boldsymbol{\varepsilon}\), pričom gradient sa zapisuje v priestorových súradniciach:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR používa túto mieru pretvorenia pre lineárnu statickú analýzu, modálnu analýzu, analýzu frekvenčnej odozvy a lineárnu dynamickú analýzu. Analýza konečných deformácií používa \(\boldsymbol{E}\) v metóde Total Lagrange a tenzor rýchlosti deformácie \(\boldsymbol{D}\) vzťahovaný na aktuálnu konfiguráciu v metóde Updated Lagrange.