Pokročilé formulácie prvkov¶

Štandardná formulácia založená na posunutiach uvedená v Formulácia 3D objemových prvkov môže pri takmer nestlačiteľných materiáloch alebo pri tenkostenných konštrukciách dominovaných ohybom vykazovať nadmernú umelú tuhosť známu ako locking (objemový locking alebo šmykový locking). FrontISTR na jeho potlačenie poskytuje metódy B-bar a F-bar, ktoré nahrádzajú iba objemovú časť matice B alebo gradientu deformácie; nekompatibilné prvky s vnútornými stupňami voľnosti; zmiešané u-p prvky, ktoré považujú tlak za nezávislé neznáme pole; a prvky MITC pre škrupiny a nosníky špecializované na doskové a prútové konštrukcie.

Táto kapitola sumarizuje formulácie týchto pokročilých a konštrukčných prvkov po jednotlivých typoch.

Metóda B-bar¶

Pri použití 8-uzlového lineárneho hexaédra pre takmer nestlačiteľný materiál môže byť pole pretvorenia v jednom prvku v rozpore s podmienkou konštantného objemu, čo vedie k nadmernej tuhosti nazývanej objemový locking. Metóda B-bar zmierňuje túto nadmernú väzbu tak, že zložky matice B prispievajúce k objemovej rozťažnosti nahradí hodnotami vyhodnotenými v strede prvku [Hughes1980].

V strede prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) označme maticu B vypočítanú z priestorových derivácií tvarových funkcií ako \(\bar{\boldsymbol{B}}\); v integračnom bode \(\boldsymbol{r}\) označme bežnú maticu B ako \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Vo vzťahu posunutie–pretvorenie pre uzol \(\alpha\) a stupeň voľnosti \(i\) sa objemové zložky pretvorenia \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) upravia pridaním

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Pre šmykové zložky \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) sa používa bežná \(\boldsymbol{B}\). Tuhosť prvku a vektor vnútorných síl sa zostavujú pomocou výslednej matice B-bar.

FrontISTR poskytuje túto formuláciu špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder (ID prvku 361; pozri Systém číslovania prvkov) a možno ju použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange.

Metóda F-bar¶

Pri konečnej deformácii vstupuje objemová zmena nelineárne prostredníctvom gradientu deformácie \(\boldsymbol{F}\). Metóda F-bar [deSouzaNeto1996] aplikuje na úrovni gradientu deformácie opatrenie proti objemovému lockingu analogické metóde B-bar.

Nech objemový pomer gradientu deformácie vyhodnoteného v strede prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) je \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a objemový pomer v integračnom bode je \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradient deformácie v integračnom bode sa nahradí

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tým sa dosiahne \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), takže objemový pomer v celom prvku zodpovedá hodnote v strede prvku. Nahradený \(\bar{\boldsymbol{F}}\) sa používa pri vyhodnocovaní napätia a zostavovaní matice pretvorenie–posunutie a tečná tuhosť prvku obsahuje dodatočné členy spojené s touto náhradou.

FrontISTR implementuje metódu F-bar špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder a možno ju použiť pri malých deformáciách aj pri nelineárnej geometrii Total Lagrange / Updated Lagrange.

Nekompatibilné prvky¶

8-uzlovému lineárnemu hexaédru chýbajú módy pretvorenia potrebné pre ohyb a v úlohách dominovaných ohybom vykazuje ohybový locking. Nekompatibilné prvky [Taylor1976] zavádzajú do vnútra prvku dodatočné módy posunutia, ktoré tento nedostatok kompenzujú.

Okrem uzlových posunutí prvku \(\boldsymbol{u}^e\) sa zavedú stupne voľnosti nekompatibilných módov \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) existujúce iba vnútri prvku, a to ako 3 smery × 3 módy na prvok; pole posunutia sa aproximuje

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pre prirodzené súradnice \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) sa nekompatibilné tvarové funkcie volia ako \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) a \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Nezaručujú spojitosť cez hranice prvkov, ale pridávajú vnútorný priestor schopný reprodukovať pretvorenia súvisiace s ohybovými módmi.

Tuhosť prvku sa najprv zostaví v blokovom tvare vonkajšie/vnútorné stupne voľnosti

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po zostavení v tomto tvare statická kondenzácia eliminuje vnútorné stupne voľnosti pomocou \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), čím sa získa tuhosť prvku obsahujúca iba vonkajšie stupne voľnosti

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ktorá sa odovzdá do globálneho zostavenia.

FrontISTR implementuje nekompatibilný prvok špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder (C3D8IC) a možno ho použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange.

Zmiešané U-P prvky¶

Kým metódy B-bar a F-bar korigujú objemovú zložku v rámci formulácie založenej na posunutiach, zmiešaný prvok u-p (U-P) používa zmiešanú formuláciu [Bathe1996], ktorá zavádza tlak \(\lambda\) ako neznáme pole nezávislé od posunutia. Pri takmer nestlačiteľných materiáloch, napríklad gumovitých materiáloch s Poissonovým číslom veľmi blízkym 0.5 alebo kovoch po plastickej deformácii, vynútenie podmienky konštantného objemu iba pomocou poľa posunutia spôsobuje objemový locking; zavedenie tlaku ako nezávislej premennej túto väzbu uvoľní.

Napätie sa rozdelí na deviátorovú a tlakovú zložku

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Tu \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) je deviátorová elastická matica získaná odstránením objemovej časti úmernej objemovému modulu \(K\) z elastickej matice. Tlak \(\lambda\) a objemové pretvorenie \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sú previazané podmienkou prostredníctvom stlačiteľnosti \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizácia s posunutím \(\boldsymbol{u}\) a tlakom \(\lambda\) ako neznámymi vedie k spojenej sústave prvku

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kde \(\mathbf{K}_{uu}\) obsahuje deviátorový elastický príspevok a pri konečnej deformácii geometrickú tuhosť; \(\mathbf{K}_{up}\) spája objemové pretvorenie s tlakom; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) je stabilizačný člen tlaku (\(\boldsymbol{N}_p\) je tvarová funkcia tlaku). Keďže tlakové stupne voľnosti sú vnútorné pre prvok,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

vykoná sa statická kondenzácia v tomto tvare a efektívna tuhosť obsahujúca iba vonkajšie (posunové) stupne voľnosti sa odovzdá do globálneho zostavenia.

FrontISTR implementuje U-P prvok špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder s jedným tlakovým stupňom voľnosti na prvok (konštantným v rámci prvku). Možno ho použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange. V Updated Lagrange sa deviátorové napätie aktualizuje pomocou objektívnej rýchlosti napätia (typ Jaumann/Hughes-Winget) a tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) sa potom uloží pomocou hodnoty získanej statickou kondenzáciou.

Škrupinové prvky¶

Škrupinové prvky založené na Reissner-Mindlinovej teórii dosiek/škrupín sa používajú pre tenkostenné doskové a škrupinové konštrukcie. S klesajúcou hrúbkou nízkostupňové prvky založené na posunutiach nadhodnocujú priečne šmykové pretvorenie mechanizmom analogickým objemovému lockingu (šmykový locking), takže ohybová tuhosť rastie nadmerne. Metóda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] sa tomuto problému vyhýba tak, že iba zložky šmykového pretvorenia znovu vyhodnotí v preddefinovaných väzbových bodoch prvku a tieto hodnoty interpoluje späť po prvku.

Uzly škrupinového prvku MITC ležia na strednicovej ploche a každý uzol má šesť stupňov voľnosti: tri translačné zložky a tri rotačné zložky vzhľadom na súradnicový systém normály strednicovej plochy. Tuhosť prvku sa vyhodnocuje trojrozmernou Gaussovou integráciou cez prirodzené súradnice strednicovej plochy a smer hrúbky; hrúbka \(h\) sa pri konštitutívnom vyhodnotení dodáva ako vlastnosť prvku.

FrontISTR poskytuje MITC3 (ID prvku 731), MITC4 (741) a MITC9 (743), reprezentované jednou vrstvou strednicovej plochy, ako aj vrstvené škrupinové prvky MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 uzly, 3 stupne voľnosti na uzol) a MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 uzly, 3 stupne voľnosti na uzol), ktorých uzly sú usporiadané v dvoch vrstvách cez hrúbku. Pri vrstvených škrupinových prvkoch pozostávajú uzlové stupne voľnosti iba z troch translačných zložiek a ohybové módy zodpovedajúce rotačným stupňom voľnosti reprezentuje dvojvrstvové usporiadanie.

Nosníkové prvky¶

Prútové členy, napríklad nosníky a rámové konštrukcie, sa diskretizujú nosníkovými prvkami. FrontISTR používa Timoshenkovu nosníkovú formuláciu, ktorá zohľadňuje šmykovú deformáciu a vyjadruje ohyb aj šmyk ako funkcie translačných a rotačných stupňov voľnosti.

Každý uzol nosníka má šesť stupňov voľnosti: tri translačné zložky a tri rotačné zložky okolo osi nosníka a priečnych osí. Tuhosť prvku sa vyhodnocuje jednorozmernou numerickou integráciou pozdĺž osi nosníka. Plocha prierezu \(A\) a druhé momenty plochy \(I\) v smeroch ohybu a krutu sa zadávajú ako vlastnosti prierezu nosníka a spolu s Youngovým modulom \(E\) a modulom šmyku \(G\) definujú osovú, ohybovú, torznú a šmykovú tuhosť.

FrontISTR poskytuje 2-uzlový priamy nosníkový prvok (ID prvku 611) a 4-uzlový tetraedrický hybridný objemovo-nosníkový prvok reprezentovaný 3 uzlami (641, pre zmiešané stupne voľnosti).

Súvisiace témy¶

Formulácia 3D objemových prvkov — Porovnanie so štandardnou formuláciou
Systém číslovania prvkov a knižnica tvarových funkcií — ID typov prvkov
Knižnica prvkov (funkcie) — Pokyny na výber jednotlivých prvkov