Tvarové funkcie 3D objemových prvkov¶

Táto kapitola sumarizuje prirodzené súradnicové systémy a explicitné tvary tvarových funkcií \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) zavedených v časti Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov pre trojrozmerné objemové prvky používané FrontISTR pri analýze kontinua. Ide o šesť typov prvkov: tetraédre prvého/druhého rádu (341/342), trojboké hranoly prvého/druhého rádu (351/352) a hexaédre prvého/druhého rádu (361/362). Poradie uzlov a čísla stien vo formáte siete HEC-MW pozri v Knižnici prvkov vo funkčnej referencii.

Postup zostavenia integrácie prvku z týchto tvarových funkcií a determinantu Jacobiho matice je uvedený v časti Numerická integrácia. Metódy B-bar, F-bar a nekompatibilná formulácia pre 361, ako aj tvarové funkcie nosníkových a škrupinových prvkov, sú opísané v časti Pokročilé formulácie prvkov.

Prirodzené súradnicové systémy a vnútorné poradie uzlov¶

Tvarové funkcie sú definované v prirodzených súradniciach \(\boldsymbol{r}\) každého prvku. Trojrozmerné objemové prvky používajú podľa tvaru prvku nasledujúce tri prirodzené súradnicové systémy.

Hexaédre (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Tetraédre (341/342): objemové súradnice \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), pričom \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) a \(L_i \ge 0\). Ak sa \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) zvolia ako nezávislé premenné, potom \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Trojboké hranoly (351/352): kombinujú objemové súradnice základného trojuholníka \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) s osovou súradnicou \(\zeta \in [-1, 1]\), čím vznikne \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Pomocná veličina \(a = 1 - \xi - \eta\) sa používa ako tretia objemová súradnica na základni.

Pri prvkoch prvého rádu je číslovanie uzlov prvku rovnaké vo vstupnom formáte HEC-MW aj vo vnútornom formáte. Pri prvkoch druhého rádu sa konvencie poradia stredových uzlov hrán líšia. FrontISTR prijíma ako vstup formát HEC-MW (najprv rohové uzly po obvode prvku, potom stredové uzly v poradí hrán 1-2, 2-3, …), zatiaľ čo tvarové funkcie v knižnici prvkov predpokladajú odlišné poradie uzlov.

Rozdiel medzi oboma formátmi rieši hecmw2fstr_mesh_conv, volaný bezprostredne po načítaní siete, ktorý preusporiada uzly každého prvku. Spomedzi trojrozmerných objemových prvkov sa konvertujú nasledujúce dva typy.

Typ prvku	Konverzná tabuľka	Opis
342 (tetraéder druhého rádu)	`Table342`	Preusporiada 10 uzlov na \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (trojboký hranol druhého rádu)	`Table352`	Preusporiada 15 uzlov na \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Keďže preusporiadanie sa vykonáva priamo v poli konektivity prvkov, všetky nasledujúce volania knižnice prvkov používajú vnútorné poradie uzlov FrontISTR. Pre hexaéder druhého rádu 362 konverzná tabuľka neexistuje, pretože poradie stredových uzlov vo vstupe HEC-MW a vo vnútornom formáte FrontISTR je rovnaké. Pri výstupe výsledkov inverzná konverzia fstr2hecmw_mesh_conv pred zápisom obnoví poradie uzlov HEC-MW, takže používateľ potrebuje pri vstupe aj výstupe poznať iba formát HEC-MW. Čísla uzlov v nasledujúcich tvarových funkciách používajú skonvertovaný vnútorný formát FrontISTR.

Tvarové funkcie prvkov prvého rádu¶

Pre tetraéder prvého rádu (341) sú tvarové funkcie priamo objemovými súradnicami:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pre trojboký hranol prvého rádu (351) sú tvarové funkcie súčinmi lineárnych tvarových funkcií základného trojuholníka (\(a, \xi, \eta\)) a lineárnych osových tvarových funkcií (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pre hexaéder prvého rádu (361) sú tvarové funkcie tenzorovými súčinmi lineárnych tvarových funkcií v troch súradnicových smeroch:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Tu \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) sú hodnoty prirodzených súradníc uzla \(\alpha\) (každá zložka je \(\pm 1\)).

Tvarové funkcie prvkov druhého rádu¶

Pre tetraéder druhého rádu (342) sú tvarové funkcie rozdelené na štyri rohové uzly a šesť stredových uzlov hrán:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Stredové uzly 5–10 zodpovedajú postupne stredom hrán 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 a 3-4.

Trojboký hranol druhého rádu (352) pozostáva zo šiestich rohových uzlov, šiestich stredových uzlov na trojuholníkových stenách a troch stredových uzlov na osových hranách:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Stredové uzly 7–9 zodpovedajú stredom hrán dolného trojuholníka (\(\zeta = -1\)), uzly 10–12 stredom hrán horného trojuholníka (\(\zeta = +1\)) a uzly 13–15 stredom osových hrán.

Hexaéder druhého rádu (362) je 20-uzlový prvok rodiny Serendipity. Nech hodnoty prirodzených súradníc uzla \(\alpha\) sú \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Pre rohové uzly (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), pričom každá zložka je \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Pre stredové uzly (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), pričom jedna z troch prirodzených súradníc je \(0\) a ostatné dve sú \(\pm 1\)) majú uzly s \(\xi_\alpha = 0\) (hrany orientované v smere \(\xi\)) tvar

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Stredové uzly, ktorých hrana smeruje pozdĺž osi \(\eta\) alebo \(\zeta\), sa určia analogicky, pričom príslušná prirodzená súradnica je odstránená členom so štvorcom.

Súvisiace témy¶

Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov — Matematická definícia tvarových funkcií \(N_\alpha^e\)
Priestorové derivácie tvarových funkcií — Derivácie tvarových funkcií podľa globálnych súradníc a Jacobiho matica
Numerická integrácia — Integračné body, váhy a približná integrácia prvku
Pokročilé formulácie prvkov — B-bar, F-bar, nekompatibilné prvky, škrupiny a nosníky
Knižnica prvkov (funkcie) — Poradie uzlov a čísla stien vo formáte HEC-MW
Zoznam symbolov fyzikálnych veličín