Numerická integrácia¶

Vektory vnútorných síl prvku \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) a matica tuhosti prvku \(\boldsymbol{K}^e\) získané v Diskretizácii vnútornej virtuálnej práce a Vonkajšej virtuálnej práci a zostavení globálnej rovnice majú tvar integrálov cez oblasť prvku \(\Omega^e\) alebo \(\Omega^e_0\). FrontISTR ich numericky vyhodnocuje pomocou Gaussovej kvadratúry.

Gaussova kvadratúra a zmena premenných¶

Gaussova kvadratúra aproximuje integrál cez referenčnú oblasť \(\Xi\) lineárnou kombináciou hodnôt integrandu v integračných bodoch \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) a váh \(w_i\). Jej aplikácia na oblasť prvku \(\Omega^e\) zahŕňa zmenu premenných prostredníctvom zobrazenia \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), čím dostaneme

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kde \(n_q\) je počet integračných bodov a \(J_{\xi_i}\) je determinant Jacobiánu transformácie. Referenčná oblasť \(\Xi\) je definovaná pre každý typ prvku (pre hexaéder \([-1,1]^3\); pre trojuholníky, tetraédre a kliny príslušné referenčné tvary) a integračné body \(\boldsymbol{\xi}_i\) a váhy \(w_i\) sú dané číselnými tabuľkami. Plošné integrály sa spracúvajú rovnakým spôsobom zobrazením steny prvku z dvojrozmernej referenčnej oblasti.

Reprezentatívne počty integračných bodov používaných vo FrontISTR sú uvedené nižšie (zodpovedajúce typy prvkov pozri v Schéme číslovania prvkov a knižnici tvarových funkcií).

Typ prvku	Kvadratúrne pravidlo	Počet integračných bodov
4-uzlový tetraéder (`tet4n`)	1-bodové pravidlo	1
10-uzlový tetraéder (`tet10n`)	4-bodové pravidlo	4
6-uzlový trojuholníkový hranol (`prism6n`)	2-bodové pravidlo	2
15-uzlový trojuholníkový hranol (`prism15n`)	9-bodové pravidlo	9
8-uzlový hexaéder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-uzlový hexaéder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-uzlový štvoruholník (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-uzlový štvoruholník (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-uzlový trojuholník (`tri3n`)	1-bodové pravidlo	1
6-uzlový trojuholník (`tri6n`)	3-bodové pravidlo	3

Pre hexaedrické, štvoruholníkové a čiarové prvky sa používajú tenzorové súčiny Gaussovho-Legendrovho pravidla v každom súradnicovom smere. Trojuholníky, tetraédre a trojuholníkové hranoly používajú špecializované pravidlá vhodné pre simplexové geometrie (usporiadania bodov, ktoré presne integrujú polynómy cez samotný trojuholník).

Aplikácia na integráciu prvku¶

Pri integrácii prvku sa ako súradnice referenčnej oblasti používajú prirodzené súradnice \(\boldsymbol{r}\) (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) a zobrazenie do fyzikálnych súradníc je dané interpoláciou uzlových súradníc pomocou tvarových funkcií. V závislosti od voľby referenčnej konfigurácie (Rámec prírastkovej analýzy) sa používajú nasledujúce formulácie.

Úplná Lagrangeova metóda (integrácia cez referenčnú konfiguráciu \(\Omega^e_0\)): zobrazenie a Jacobián sú

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a vnútorná sila prvku a matica tuhosti sa aproximujú ako

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Všetky veličiny \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) sa vyhodnocujú v integračnom bode \(\boldsymbol{r}_i\).

Aktualizovaná Lagrangeova metóda (integrácia cez aktuálnu konfiguráciu \(\Omega^e\)): zobrazenie a Jacobián sú

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

sa používajú ako aproximácie.

Jediný rozdiel medzi oboma formuláciami spočíva v tom, či sú uzlové súradnice dodané do zobrazenia \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) alebo \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integračné body, váhy a štruktúra cyklu cez integračné body sú spoločné.

Úplná a redukovaná integrácia¶

Integrácia používajúca dostatočný počet integračných bodov na presnú integráciu polynomiálneho stupňa integrandu sa nazýva úplná integrácia, zatiaľ čo integrácia s o jednu úroveň menším počtom integračných bodov sa nazýva redukovaná integrácia. Redukovaná integrácia sa používa na zmiernenie šmykového a objemového blokovania, vyžaduje však ošetrenie parazitných deformačných módov, napríklad hourglass módov. Počet integračných bodov pre jednotlivé typy prvkov a voľba medzi úplnou a redukovanou integráciou sú opísané v Schéme číslovania prvkov a knižnici tvarových funkcií a nasledujúcich častiach a v Pokročilých formuláciách prvkov.

Súvisiace témy¶

Priestorové derivácie tvarových funkcií — Výpočet Jacobiánu
Diskretizácia vnútornej virtuálnej práce — Veličiny vyhodnocované numerickou integráciou
Pokročilé formulácie prvkov — Použitie redukovanej integrácie