Preskočiť na obsah

Virtuálna práca vonkajších síl a zostavenie globálnych rovníc

V časti Diskretizácia virtuálnej práce vnútorných síl sa ľavá strana slabej formy zredukovala na vektor vnútorných síl prvku \(\boldsymbol{q}^e\) (metóda UL) alebo \(\boldsymbol{Q}^e\) (metóda TL). Táto kapitola zavádza z virtuálnej práce vonkajších síl uzlový vektor vonkajších síl prvku \(\boldsymbol{F}^e\) a následne použije operáciu zostavenia, ktorá preusporiada a sčíta uzlové veličiny prvkov podľa globálnych čísel uzlov. Výsledkom je nelineárna sústava rovníc v uzlových posunutiach, ktorú rieši nelineárna štrukturálna analýza FrontISTR.

Rozklad virtuálnej práce vonkajších síl po prvkoch

Pravú stranu Princípu virtuálnej práce možno rozložiť po prvkoch na virtuálnu prácu vonkajších síl tvorenú objemovými silami a predpísanými povrchovými trakciami na mechanických hraniciach. Aby sa interpolácia posunutia zavedená v časti Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov zapísala v maticovom tvare, definujme blok \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) s tvarovou funkciou \(d \times d\) uzla \(\boldsymbol{N}_\alpha\) na diagonále a zostavme \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), takže \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Dosadením do virtuálnej práce vonkajších síl zapísanej v referenčnej konfigurácii dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

kde uzlový vektor vonkajších síl prvku je usporiadaný ako \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuálna práca vonkajších síl sa teda zredukuje na rovnaký tvar „uzlový vektor prvku × testovacia funkcia“ ako strana vnútorných síl (pri zápise v aktuálnej konfigurácii sa rovnaký tvar získa substitúciami \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) a \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Zostavenie uzlových veličín prvkov

Uzlové veličiny \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) získané pre každý prvok sa sčítajú do globálnych vektorov usporiadaných podľa globálnych čísel uzlov. Nech globálne číslo uzla zodpovedajúce lokálnemu číslu uzla \(\Omega^e\) prvku \(\alpha\) je

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Potom je uzlová veličina prvku totožná so zodpovedajúcou zložkou globálnej uzlovej veličiny (napríklad \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Keďže uzol \(i_g\) je všeobecne zdieľaný viacerými prvkami, definujme množinu dvojíc \(i_g\), ktorých globálne číslo uzla je \((e, \alpha)\), ako

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Použitím tejto množiny na prepísanie súčtu ako \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) dostaneme uzlovú vnútornú silu a globálny vektor vnútorných síl pre všetkých \(n_g\) uzlov:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Tu \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) je výslednica uzlových vnútorných síl prvkov pôsobiacich v uzle \(i_g\) a je \(\boldsymbol{0}\), keď nepôsobí žiadna vonkajšia sila a je splnená rovnováha. Rovnaký postup v metóde UL dáva \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); pretože ich číselné hodnoty spĺňajú \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), ďalej sa okrem prípadov, keď je potrebné rozlíšenie, používa označenie \(\boldsymbol{Q}\). Globálny vektor vonkajších síl \(\boldsymbol{F}\) sa získa rovnakým sčítaním.

V implementácii sa množina \(\mathcal{E}(i_g)\) nevytvára explicitne; namiesto toho sa príspevky pridávajú do zodpovedajúcich zložiek vo vnútri slučky cez prvky.

Inicializuj globálny vektor vnútorných síl Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (počet prvkov)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globálny vektor vonkajších síl \(\boldsymbol{F}\) sa zostavuje rovnakým postupom. Táto operácia pridávania a ukladania uzlových veličín prvkov do vektorov a matíc číslovaných podľa globálneho čísla uzla sa nazýva zostavenie. Pre tenzory druhého rádu priradené dvom číslam uzlov (napríklad matice tuhosti) sa rovnaký typ zostavenia získa pomocou množiny \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (konkrétna konštrukcia je uvedená v časti Tečná matica tuhosti).

Nelineárne rovnice, ktoré sa majú riešiť

Dosadením zostavených vnútorných a vonkajších síl do Princípu virtuálnej práce a použitím skutočnosti, že platí pre ľubovoľnú testovaciu funkciu \(\delta\boldsymbol{u}^n\) spĺňajúcu geometrické okrajové podmienky, dostaneme

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

V kontexte prírastkovej analýzy (Rámec prírastkovej analýzy) obnovme časový dolný index \(_{n+1}\) a vynechajme horný index \(^n\) označujúci globálny uzlový vektor. Riešená rovnica je potom

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Diskretizovaná okrajová úloha hľadania uzlového posunutia \(t_{n+1}\) v čase \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) sa teda redukuje na riešenie tejto nelineárnej rovnice v posunutí spolu s geometrickými okrajovými podmienkami. Linearizácia rovnice a zostavenie tečnej matice tuhosti sú opísané v časti Tečná matica tuhosti a iteračná metóda riešenia v časti Newtonova-Raphsonova metóda.

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status