Diskretizácia vnútornej virtuálnej práce¶

Rovnica virtuálnej práce v čase \(t + \Delta t\) uvedená v časti Rámec prírastkovej analýzy má podľa voľby referenčnej konfigurácie dve formy: aktualizovanú Lagrangeovu a úplnú Lagrangeovu formuláciu. V tejto kapitole sa aproximácia metódou konečných prvkov zavedená v častiach Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov a Priestorové derivácie tvarových funkcií používa na priestorovú diskretizáciu vnútornej virtuálnej práce oboch formulácií a získanie vektorov vnútorných síl prvku \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) a \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Pre prvok \(e\) nech sú jeho uzly \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), ich posunutia \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) a vektor uzlových posunutí prvku usporiadaný ako \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuálne posunutie \(\delta \boldsymbol{u}^e\) je definované v rovnakom poradí. Posunutie vo vnútri prvku sa interpoluje tvarovými funkciami ako \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Vnútorná virtuálna práca v aktualizovanej Lagrangeovej formulácii¶

V aktualizovanej Lagrangeovej formulácii sa v čase \(t\) používa ako referenčná konfigurácia aktuálna konfigurácia \({}^{t}\Omega\) a vnútorná virtuálna práca sa pomocou Cauchyho napätia \(\boldsymbol{\sigma}\) a lineárnej časti Almansiho pretvorenia \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) zapíše ako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Každú zložku \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) možno pomocou súradníc aktuálnej konfigurácie \(\boldsymbol{x}\) vyjadriť ako lineárnu kombináciu derivácií tvarových funkcií \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) a uzlových virtuálnych posunutí \(\delta u^e_{i\alpha}\). Vo Voigtovom zápise sa to dá usporiadať ako

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Uzlový blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) vznikne usporiadaním \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) podľa Voigtovej konvencie do matice \(6 \times 3\) a \(\boldsymbol{B}_L\) je matica pretvorenie – posunutie pre formuláciu UL. Dosadením do vnútornej virtuálnej práce a vyňatím \(\delta \boldsymbol{u}^e\) dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Pre \(\boldsymbol{q}^e\) je uzlový blok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) vnútornou silou prvku \(\Omega^e\) pôsobiacou na uzol \(\alpha\).

Vnútorná virtuálna práca v úplnej Lagrangeovej formulácii¶

V úplnej Lagrangeovej formulácii sa ako referenčná konfigurácia používa počiatočná konfigurácia \(\Omega_0\) a vnútorná virtuálna práca sa pomocou druhého Piola-Kirchhoffovho napätia \(\boldsymbol{S}\) a Greenovho-Lagrangeovho pretvorenia \(\boldsymbol{E}\) zapíše ako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variácia \(\delta \boldsymbol{E}\) sa rozdelí na člen lineárny vo virtuálnom posunutí a nelineárny člen obsahujúci súčiny s aktuálnym gradientom posunutia \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Lineárny člen možno zapísať použitím rovnakého pravidla usporiadania ako vo formulácii UL na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), čím vznikne uzlový blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

V dôsledku odlišnej referenčnej konfigurácie sa iba jednotlivé derivácie menia z \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); používa sa rovnaký symbol ako vo formulácii UL. Nelineárny člen používa súčiny aktuálneho gradientu posunutia \(\partial u_k/\partial X_j\) a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), usporiadané podľa Voigtovej konvencie do uzlového bloku \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Teda \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) a \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) je matica pretvorenie – posunutie pre formuláciu TL. Dosadením do vnútornej virtuálnej práce dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Uzlový blok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) je vnútornou silou prvku \(\Omega^e_0\) pôsobiacou na uzol \(\alpha\).

Zodpovedajúce veličiny UL/TL a výpočtový postup¶

Vektory vnútorných síl prvku v aktualizovanej a úplnej Lagrangeovej formulácii si zodpovedajú nasledovne.

Položka	Aktualizovaná Lagrangeova formulácia	Úplná Lagrangeova formulácia
Referenčná konfigurácia	Aktuálna konfigurácia \({}^{t}\Omega^e\)	Počiatočná konfigurácia \(\Omega^e_0\)
Tenzor napätia	Cauchyho napätie \(\boldsymbol{\sigma}\)	Druhé PK napätie \(\boldsymbol{S}\)
Variácia pretvorenia	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matica B	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Vnútorná sila prvku	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Obe sa spracúvajú rovnakým postupom: z priestorových derivácií tvarových funkcií sa zostaví \(\boldsymbol{B}_L\); vo formulácii TL sa z aktuálneho gradientu posunutia zostaví a pripočíta \(\boldsymbol{B}_{NL}\); napätie (\(\boldsymbol{\sigma}\) alebo \(\boldsymbol{S}\)) sa aktualizuje podľa konštitutívneho zákona; a v integračných bodoch sa numericky integruje \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) alebo \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) po doméne prvku (Numerická integrácia). Okrem prepnutia referenčnej konfigurácie (uzlových súradníc a konštrukcie matice \(\boldsymbol{B}\)) a zmeny tenzora napätia je spracovanie spoločné, preto FrontISTR implementuje výpočty vnútorných síl pre obe formulácie pomocou spoločných podprogramov. Zostavenie vektorov vnútorných síl prvku \(\boldsymbol{q}^e\) a \(\boldsymbol{Q}^e\) do globálneho vektora vnútorných síl je opísané v časti Vonkajšia virtuálna práca a zostavenie globálnych rovníc.

Súvisiace témy¶

Princíp virtuálnej práce — Východisková rovnica
Rámec prírastkovej analýzy — Definícia vetiev TL/UL
Priestorové derivácie tvarových funkcií — Zložky matice B
Vonkajšia virtuálna práca a zostavenie globálnych rovníc — Prechod ku globálnemu vektoru vnútorných síl
Tečná matica tuhosti — Linearizácia pomocou časovej derivácie vnútornej sily
Zoznam symbolov fyzikálnych veličín