Priestorové derivácie tvarových funkcií¶

Tvarové funkcie \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) uvedené v časti Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov sú dané ako funkcie prirodzených súradníc \(\boldsymbol{r}\), ktoré sú lokálnymi súradnicami prvku. Na druhej strane integrandy v slabej forme prostredníctvom vzťahu pretvorenie – posunutie obsahujú parciálne derivácie vzhľadom na fyzikálne súradnice (referenčnú konfiguráciu \(\boldsymbol{X}\) alebo aktuálnu konfiguráciu \(\boldsymbol{x}\)), teda \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) alebo \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Táto časť usporadúva postup výpočtu týchto priestorových derivácií tvarových funkcií zo súradníc uzlov prvku a derivácií vzhľadom na prirodzené súradnice.

Vyjadrenie priestorových derivácií pomocou reťazového pravidla¶

Použitím reťazového pravidla na interpolačný vzťah \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (predchádzajúca časť) a použitím Jacobiho matice \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) zobrazenia z prirodzených súradníc do fyzikálnych súradníc dostaneme

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Tu \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sú matice, v ktorých riadok \(\alpha\) predstavuje vektor parciálnych derivácií pre uzol \(\alpha\); každá z nich má rozmery \(n_e \times 3\).

Zostavenie Jacobiho matice¶

Derivovaním interpolačného vzťahu vzhľadom na \(\boldsymbol{r}\) dostaneme

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Jacobiho maticu teda možno zostaviť priamo zo súradníc uzlov prvku \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) a derivácií podľa prirodzených súradníc \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivácie podľa prirodzených súradníc sú určené funkčným tvarom tvarových funkcií a sú vopred implementované pre každý typ prvku.

Determinant Jacobiho matice \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) sa používa pri numerickej integrácii na transformáciu objemového elementu ako \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ak determinant nadobudne hodnotu \(0\), prvok je degenerovaný a výpočet zlyhá.

Výpočtový postup¶

Z uvedeného odvodenia možno výpočet priestorových derivácií \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) rozdeliť do nasledujúcich štyroch krokov.

Výpočet derivácií podľa prirodzených súradníc: Zo vstupu obsahujúceho typ prvku a prirodzené súradnice \(\boldsymbol{r}\) vyhodnocovacieho bodu vypočítajte maticu derivácií podľa prirodzených súradníc \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Keďže funkčný tvar tvarových funkcií sa líši podľa typu prvku, spracovanie sa vetví podľa typu prvku.
Výpočet Jacobiho matice: Zo súradníc uzlov prvku \(\boldsymbol{X}^e\) a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) zostavte Jacobiho maticu \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) pomocou rovnice v predchádzajúcej časti.
Výpočet inverznej matice a determinantu: Vypočítajte inverznú maticu \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) a determinant Jacobiho matice. Determinant sa používa ako váha pri numerickej integrácii.
Výpočet priestorových derivácií: Z \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) a \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) získajte ich súčinom priestorové derivácie \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

Tieto štyri kroky sa vetvia podľa typu prvku a priestorovej dimenzie (dve alebo tri dimenzie), ale celkový postup je spoločný.

Spoločné spracovanie referenčnej a aktuálnej konfigurácie¶

Uvedený postup možno použiť aj tak, že sa \(\boldsymbol{X}^e\) jednoducho nahradí aktuálnymi súradnicami uzlov \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), čím sa získajú priestorové derivácie \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) v aktuálnej konfigurácii. Rovnaký postup tak možno zdieľať medzi úplnou Lagrangeovou a aktualizovanou Lagrangeovou formuláciou iba prepnutím vstupných súradníc uzlov.

Súvisiace témy¶

Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov — Definícia tvarových funkcií a súradníc uzlov prvku
Diskretizácia vnútornej virtuálnej práce — Zostavenie matice B z priestorových derivácií
Numerická integrácia — Použitie determinantu Jacobiho matice v Gaussovej kvadratúre