Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov¶

Aby bolo možné výpočtovo spracovať slabý tvar princípu virtuálnej práce, oblasť telesa sa rozdelí na konečný počet prvkov a súradnice materiálových bodov, posunutie a testovacia funkcia v každom prvku sa interpolujú z uzlových hodnôt a tvarových funkcií. Priestorové derivácie tvarových funkcií sú opísané v Priestorových deriváciách tvarových funkcií, diskretizácia slabého tvaru v Diskretizácii vnútornej virtuálnej práce a konkrétne tvary tvarových funkcií pre jednotlivé typy prvkov v Systéme číslovania prvkov a knižnici tvarových funkcií a nasledujúcich častiach.

Delenie oblasti a súčty integrálov po prvkoch¶

Oblasť \(\Omega_0\) v referenčnej konfigurácii a oblasť \(\Omega\) v aktuálnej konfigurácii sa aproximujú zjednotením prvkov \(\Omega^e_0\), resp. \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) je číslo prvku a hranice prvkov sú zdieľané susednými prvkami.) Tým sa objemové a plošné integrály v princípe virtuálnej práce rozložia na súčty integrálov cez jednotlivé prvky:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(To isté platí pre aktuálnu konfiguráciu po nahradení \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) a \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Ďalej sa vyhodnotenie slabého tvaru redukuje na zostavenie integrálov po jednotlivých prvkoch.

Interpolácia pomocou uzlových hodnôt a tvarových funkcií (izoparametrické prvky)¶

Každému prvku \(\Omega^e_0\) je priradených \(n_e\) uzlov. Nech sú súradnice referenčnej konfigurácie a uzlové posunutia uzla prvku \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) označené \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Uzlové vektory prvku \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) a \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) sa vytvoria usporiadaním týchto hodnôt; pre prvok \(e\) obsahujú iba zložky uzlov tvoriacich prvok, vybrané z globálnych uzlových vektorov \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) je celkový počet uzlov).

S použitím prirodzených súradníc \(\boldsymbol{r}\), ktoré sú lokálnymi súradnicami v prvku, ako parametrov interpolujú tvarové funkcie \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) materiálové súradnice, posunutie a testovaciu funkciu v prvku pomocou rovnakých tvarových funkcií (izoparametrický prvok a Galerkinova metóda):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Tvarové funkcie sú skonštruované tak, aby spĺňali nasledujúce dve vlastnosti, a geometria prvku sa volí tak, aby zobrazenie \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) z prirodzených súradníc do materiálových súradníc bolo v rámci prvku jednoznačné:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) je bod v prirodzených súradniciach zodpovedajúci uzlu \(\alpha\) a \(\delta_{\alpha\beta}\) je Kroneckerovo delta.) Prvá rovnica zaručuje reprodukciu posunu tuhého telesa a druhá zaručuje, že interpolovaná hodnota sa v každom uzle zhoduje s uzlovou hodnotou. Konkrétne tvary \(n_e\) a \(N_\alpha^e\) pre jednotlivé typy prvkov sú uvedené v Systéme číslovania prvkov a knižnici tvarových funkcií a nasledujúcich častiach. Aby sa predišlo ťažkopádnemu zápisu, závislosť od typu prvku sa vyjadruje horným indexom \(e\) pre daný prvok.

Pri vyššie uvedených interpolačných pravidlách možno integrand slabého tvaru vyjadriť výhradne pomocou uzlových hodnôt prvku \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) a \(N_\alpha^e\). Deformácia sa však odvodzuje z interpolovaného posunutia a vzťahu deformácia-posunutie, zatiaľ čo napätie sa odvodzuje z tejto deformácie a materiálového konštitutívneho zákona; tieto veličiny sa priamo neinterpolujú z uzlových hodnôt. Vyhodnocujú sa v integračných bodoch v rámci prvku (Numerická integrácia).

Pravidlo usporiadania globálnych uzlových vektorov¶

Fyzikálne veličiny priradené uzlom sú v globálnom uzlovom vektore usporiadané vzostupne podľa čísla uzla → stupňa voľnosti. Ak sa v uzle \(\alpha\) zložka stupňa voľnosti \(i\) označí \(u_{i\alpha}\), potom v troch rozmeroch (\(i=1,2,3\)), resp. v dvoch rozmeroch (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Súradnice \(\boldsymbol{X}^n\) a testovacia funkcia \(\delta\boldsymbol{u}^n\) používajú rovnaké usporiadanie. Ďalej sa odvodenia v maticovom a vektorovom tvare zapisujú reprezentatívne pre trojrozmerný prípad.

Súvisiace témy¶

Princíp virtuálnej práce — Slabý tvar určený na diskretizáciu
Priestorové derivácie tvarových funkcií — Príprava Jacobiánu a matice B
Systém číslovania prvkov a knižnica tvarových funkcií — Tvarové funkcie pre jednotlivé typy prvkov