Tečenie¶

Táto kapitola opisuje konštitutívny zákon tečenia používaný vo FrontISTR. Podrobnosti o výbere a zadávaní nájdete v časti funkcií 03_material.

Jav tečenia a aditívny rozklad pretvorenia¶

Časovo závislé posunutie pri konštantnom napätí je jav nazývaný „tečenie“.

Vyššie opísané viskoelastické správanie možno tiež považovať za druh lineárneho tečenia. Tu sú opísané niektoré nelineárne formy tečenia. Bežným prístupom je formulovať konštitutívny vzťah pridaním tohto správania k pretvoreniu, ktoré vzniká okamžite, a pretvorenie nahromadené počas pôsobenia daného konštantného zaťaženia definovať ako pretvorenie tečenia \(\varepsilon^c\). Konštitutívny vzťah zahŕňajúci tečenie sa zvyčajne vyjadruje pomocou rýchlosti pretvorenia tečenia \(\dot{\varepsilon}^c\), definovanej ako funkcia napätia a celkového pretvorenia tečenia.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ak je okamžite vznikajúce pretvorenie elastické pretvorenie \(\varepsilon^e\), celkové pretvorenie je vyjadrené nasledujúcim súčtom zahŕňajúcim pretvorenie tečenia.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kde

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) je tenzor pružnosti).

Nortonov zákon¶

Ako konkrétny konštitutívny zákon tečenia FrontISTR používa nasledujúci Nortonov model. V tomto konštitutívnom zákone sa ekvivalentná rýchlosť pretvorenia tečenia \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) vyjadruje ako funkcia von Misesovho napätia \(q\) a času \(t\) nasledovne.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Tu sú \(A\), \(m\) a \(n\) materiálové konštanty.

Časová integrácia a aktualizácia napätia¶

Rovnako ako pri plastických materiáloch je pre konštitutívny zákon vykazujúci tečenie potrebné určiť numerickú metódu časovej integrácie. Konštitutívny vzťah pri zohľadnení tečenia je

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kde \(\beta_{n+\theta}\) je

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Prírastok pretvorenia tečenia \(\Delta \varepsilon^c\) je potom definovaný nasledujúcou zjednodušenou nelineárnou rovnicou:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

ktorá sa položí rovná nule.

V Newtonovej-Raphsonovej iterácii, pri použití \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ako počiatočného napätia a prírastku pretvorenia získaného metódou konečných prvkov, sú iterované riešenie a prírastok dané vzťahom

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kde

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

a po iterovaní, kým rezíduum \(R\) nebude \(\mathbf{0}\), sa použije napätie \(\sigma_{n+1}\) a dotykový modul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Súvisiace témy¶

Viskoelasticita — Viskoelastické správanie zodpovedajúce lineárnemu tečeniu
Dotyková matica tuhosti — Dotyková tuhosť pre prírastkovú analýzu zahŕňajúcu tečenie
Materiálové údaje (funkcie) — Zadanie parametrov Nortonovho modelu