Preskočiť na obsah

Elastoplasticita

Táto kapitola opisuje rámec elastoplastického konštitutívneho zákona používaného v FrontISTR. Podrobnosti o výbere a vstupných špecifikáciách nájdete v časti 03_material v kapitole Funkcie.

Jav (plastická deformácia)

TBD (bude doplnené v ďalšej fáze).

Rámec konštitutívneho zákona

FrontISTR používa elastoplastickú konštitutívnu rovnicu založenú na asociovanom pravidle toku. Konštitutívna rovnica vyjadruje vzťah medzi Jaumannovou rýchlosťou Kirchhoffovho napätia a tenzorom rýchlosti deformácie a analýza deformácie používa aktualizovanú Lagrangeovu formuláciu.

Predpokladajme, že podmienka klzu elastoplastického materiálu je daná nasledovne.

Počiatočná podmienka klzu:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Následná podmienka klzu:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kde

  • \(F\): funkcia klzu
  • \(\sigma_{y_0}\): počiatočné medzné napätie
  • \(\sigma_y\): následné medzné napätie
  • \(\sigma\): tenzor napätia
  • \(e\): tenzor infinitesimálneho pretvorenia
  • \(e^p\): tenzor plastického pretvorenia
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalentné plastické pretvorenie

Predpokladá sa, že vzťah medzi medzným napätím a ekvivalentným plastickým pretvorením sa zhoduje so vzťahom medzi napätím a plastickým pretvorením pri jednoosovom stave.

Vzťah napätie – plastické pretvorenie pri jednoosovom stave

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kde \(H'\) je modul deformačného spevnenia.

Vzťah ekvivalentné napätie – ekvivalentné plastické pretvorenie

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Vo všeobecnosti je následná funkcia klzu funkciou teploty a práce plastického pretvorenia, ale pre jednoduchosť sa tu predpokladá, že je funkciou iba ekvivalentného plastického pretvorenia \(\overline{e}^p\). Počas plastickej deformácie musí naďalej platiť \(F = 0\), a preto musí byť splnená nasledujúca rovnica.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Tu \(\dot{F}\) označuje časovú deriváciu \(F\). Ďalej sa časová derivácia veličiny \(A\) označuje \(\dot{A}\).

Predpokladajme existenciu plastického potenciálu \(\Theta\) a vyjadrime rýchlosť plastického pretvorenia nasledujúcou rovnicou.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Tu \(\dot{\lambda}\) je koeficient.

Ďalej, za predpokladu, že plastický potenciál \(\Theta\) sa rovná funkcii klzu \(F\), sa použije nasledujúce asociované pravidlo toku.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Dosadením tejto rovnice do podmienky konzistencie dostaneme nasledujúcu rovnicu.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Tu \(D\) je matica elasticity a

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastický vzťah napätie – pretvorenie možno zapísať takto.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Keď je známa funkcia klzu \(F\) elastoplastického materiálu, z tohto výrazu sa získa jeho konštitutívna rovnica.

Funkcie klzu

Nižšie sú uvedené elastoplastické funkcie klzu používané v FrontISTR.

Von Misesova funkcia klzu

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Tu \(J_2\) je druhý invariant deviatorického tenzora napätia.

Mohr-Coulombova funkcia klzu

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Tu \(\sigma_1, \sigma_3\) sú maximálne a minimálne hlavné napätia, \(c\) je kohézia a \(\phi\) je uhol vnútorného trenia.

Drucker-Pragerova funkcia klzu

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Materiálové konštanty \(\alpha\) a \(\sigma_y\) sa vypočítajú z kohézie materiálu a uhla trenia nasledovne.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status