Preskočiť na obsah

Lineárna elasticita

Táto kapitola sa zaoberá konštitutívnym zákonom (Hookeovým zákonom) pre lineárne elastické materiály. Podrobnosti o výbere modelu a špecifikácii vstupu nájdete v časti funkcií 03_material.

Jav (lineárna elastická odozva)

Lineárne elastické teleso je materiál, ktorý v oblasti, kde je deformácia pri zaťažení dostatočne malá, vykazuje lineárny vzťah medzi napätím a deformáciou a reverzibilnú odozvu nezávislú od histórie, pri ktorej sa po odľahčení všetka deformácia vráti do pôvodného stavu. Na rozdiel od plasticity alebo creepu nemá vnútorné premenné opisujúce stav (napríklad plastickú alebo viskóznu deformáciu) a napätie je jednoznačne určené iba aktuálnou deformáciou.

V oblasti malých deformácií sa používa Cauchyho napätie \(\boldsymbol{\sigma}\) a infinitézimálna deformácia \(\boldsymbol{\varepsilon}\); v oblasti konečných deformácií (úlohy zahŕňajúce veľké rotácie, pri ktorých je však samotná deformácia malá) sa používa druhé Piolovo-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{S}\) a Greenova-Lagrangeova deformácia \(\boldsymbol{E}\) (St.Venantov-Kirchhoffov materiál).

Konštitutívny zákon

Izotropný lineárne elastický materiál

V oblasti malých deformácií sa izotropný Hookeov zákon pomocou Lamého konštánt \(\lambda, \mu\) vyjadruje ako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

V zložkovom tvare,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

a dvojitá kontrakcia s deformáciou dáva \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamého konštanty sú s Youngovým modulom \(E\) a Poissonovým číslom \(\nu\) spojené takto:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Vo Voigtovom zápise sa vzťah medzi vektorom deformácie \(\hat{\varepsilon}\) a vektorom napätia \(\hat{\sigma}\) zapisuje ako \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) a trojrozmerná materiálová matica \(D\) je

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Táto maticová reprezentácia sa používa v implementácii.

Ortotropný lineárne elastický materiál

Pre materiály, ktorých elastické konštanty sa líšia podľa smeru hlavných osí, sa používa ortotropný model s deviatimi nezávislými konštantami: Youngove moduly v smeroch hlavných osí \(E_1, E_2, E_3\), Poissonove čísla medzi hlavnými osami \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) a šmykové moduly \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Explicitný tvar matice \(D\) nájdete v štandardnej literatúre.

Oblasť konečných deformácií: St.Venantov-Kirchhoffov materiál

Pre úlohy zahŕňajúce veľké rotácie, pri ktorých je však samotná deformácia malá, sa používa St.Venantov-Kirchhoffov materiál ako lineárny elastický zákon spájajúci druhé Piolovo-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{S}\) a Greenovu-Lagrangeovu deformáciu \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definície Lamého konštánt \(\lambda, \mu\) sú rovnaké ako v prípade malých deformácií. Treba však poznamenať, že keďže definície dvojice napätie-deformácia sa líšia, ide o iný konštitutívny zákon než Hookeov zákon pre malé deformácie.

Hypoelastický materiál

V aktualizovanej Lagrangeovej metóde sa používa hypoelastický materiál, ktorý uplatňuje lineárny elastický zákon medzi Jaumannovou deriváciou relatívneho Kirchhoffovho tenzora napätia \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) a tenzorom rýchlosti deformácie \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Aj tu je definícia \(\boldsymbol{C}\) pomocou Lamého konštánt rovnaká ako vyššie, ale keďže dvojica napätie-deformácia je odlišná, ide o iný konštitutívny zákon. Podrobnosti o aktualizácii \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) počas časovej integrácie (dopredná Eulerova integrácia a aproximácia centrálnou diferenciou) nájdete v tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukcia pre dvojrozmernú analýzu a škrupinové prvky

Rovinná napätosť (\(\sigma_{33} = 0\))

Pri rovinnej napätosti, ktorá reprezentuje zaťaženie tenkých dosiek a škrupín, sa predpokladá \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) a používa sa \(D\), z ktorého je algebraicky eliminovaná mimorovinná zložka deformácie \(\varepsilon_{33}\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Rovinná deformácia (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Pri rovinnej deformácii, ktorá reprezentuje prierez dlhej konštrukcie obmedzenej v smere hrúbky, sa predpokladá \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Osovo symetrický prípad

Pri osovo symetrickej analýze, ktorá rieši úlohy rovnomerné v smere \(\theta\) v cylindrických súradniciach \((r, \theta, z)\), sa zachovajú štyri zložky \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) a \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) a

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

sa získa.

Škrupinové prvky (rovinná napätosť + priečny šmyk)

Pri škrupinových prvkoch sa rovinné napätie rieši ako stav rovinnej napätosti a pre zložky priečnej šmykovej deformácie \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) sa používa \(\kappa\, G\) so súčiniteľom korekcie šmyku \(\kappa\) (vo všeobecnosti \(\kappa = 5/6\)). Podrobnú formuláciu jednotlivých prvkov nájdete v Pokročilých formuláciách prvkov. Špecifikácia v časti funkcií 03_material, že „škrupinové prvky podporujú iba lineárnu elasticitu“, vychádza z tohto zjednodušenia, pri ktorom sa rovinný stav považuje za rovinnú napätosť.

Teplotná závislosť

Youngov modul \(E\), Poissonovo číslo \(\nu\) a súčiniteľ lineárnej teplotnej rozťažnosti \(\alpha\) sa vo všeobecnosti zadávajú ako funkcie teploty \(T\). Vo FrontISTR sa hodnoty zadávajú pre konečnú postupnosť teplotných bodov \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) a hodnota pri teplote \(T\) počas výpočtu sa určuje lineárnou interpoláciou medzi susednými bodmi. Pre teploty mimo rozsahu (\(T < T_1\) alebo \(T > T_n\)) sa na extrapoláciu použije hodnota najbližšieho krajného bodu \(T_1\) alebo \(T_n\) (konštantná extrapolácia).

Teplotnú závislosť tepelných a teplovodivých vlastností (hustota, merná tepelná kapacita a tepelná vodivosť) nájdete v Tepelných vlastnostiach. Pravidlá interpolácie sú pre tieto vlastnosti spoločné.

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status