Preskočiť na obsah

Lineárna elastická statická analýza (úvod)

Táto časť uvádza formuláciu elastickej statickej analýzy založenú na teórii infinitezimálnych deformácií. Pre vzťah medzi napätím a deformáciou sa predpokladá lineárna elasticita. Táto kapitola slúži ako úvod na pochopenie celkovej štruktúry štrukturálnej analýzy metódou konečných prvkov a je zostavená ako samostatná kapitola.

Všeobecnú teóriu princípu virtuálnej práce (formulácia v aktuálnej konfigurácii, formulácia v počiatočnej konfigurácii a redukcia na infinitezimálnu deformáciu) nájdete v časti Princíp virtuálnej práce; podrobnosti lineárneho elastického konštitutívneho zákona nájdete v časti Lineárna elasticita; konvencie tenzorového a Voigtovho zápisu nájdete v časti Tenzorový zápis a matematické základy; všeobecnú formuláciu konečných deformácií nájdete v časti Pohyb, deformácia a pretvorenie; a metódy riešenia nelineárnych problémov nájdete v časti Tangenciálna matica tuhosti.

Základné rovnice

Za predpokladu infinitezimálnej deformácie a lineárnej elasticity pozostáva okrajová úloha v mechanike tuhých telies z rovnice rovnováhy, mechanických okrajových podmienok a geometrických okrajových podmienok (podstatných okrajových podmienok) (pozrite obrázok 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Tu \(\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napätie, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) je objemová sila na jednotku objemu, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) je predpísané plošné zaťaženie, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) je predpísané posunutie a \(S_t, S_u\) sú mechanická a geometrická hranica.

Okrajová úloha v mechanike tuhých telies (úloha infinitezimálnych deformácií)

Obrázok 2.1.1 Okrajová úloha v mechanike tuhých telies (úloha infinitezimálnych deformácií)

Pomocou symetrického gradientového operátora je vzťah medzi deformáciou a posunutím

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineárna elastická konštitutívna rovnica je

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kde \(\boldsymbol{C}\) je tenzor elasticity štvrtého rádu.

Princíp virtuálnej práce

Všeobecné formy princípu virtuálnej práce (formulácia v aktuálnej konfigurácii, formulácia v počiatočnej konfigurácii a redukcia na infinitezimálnu deformáciu) sú zhrnuté v časti Princíp virtuálnej práce. Za predpokladu infinitezimálnej deformácie a lineárnej elasticity má slabá formulácia tvar

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Dosadením konštitutívnej rovnice \eqref{eq:2.1.5} a zápisom \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) vo Voigtovom zápise sa získa tvar používaný priamo na diskretizáciu:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

kde \(D\) je elastická matica definovaná v časti Lineárna elasticita. Rovnice \eqref{eq:2.1.10} a \eqref{eq:2.1.7} tvoria princíp virtuálnej práce diskretizovaný nižšie.

Diskretizácia a zostavenie globálnej rovnice

Diskretizáciou princípu virtuálnej práce v rovnici \( \eqref{eq:2.1.10} \) cez konečné prvky dostaneme

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Pre každý prvok sa pole posunutí interpoluje pomocou posunutí uzlov tvoriacich prvok takto.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformácia sa potom pomocou rovnice \(\eqref{eq:2.1.4}\) vyjadrí takto.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Dosadením rovníc \(\eqref{eq:2.1.12}\) a \(\eqref{eq:2.1.13}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.1.11}\) dostaneme

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Rovnicu \(\eqref{eq:2.1.14}\) možno zapísať ako

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Tu možno zložky matice a vektora definovaných rovnicami \(\eqref{eq:2.1.16}\) a \(\eqref{eq:2.1.17}\) vypočítať pre každý konečný prvok a zostaviť superpozíciou.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Keďže rovnica \(\eqref{eq:2.1.15}\) platí pre ľubovoľné virtuálne posunutie \(\delta \boldsymbol{U}\), dostaneme nasledujúcu rovnicu.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Okrajová podmienka posunutia v rovnici \(\eqref{eq:2.1.3}\) sa pritom vyjadrí takto.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Vyriešením rovnice \(\eqref{eq:2.1.18}\) pri podmienke väzby z rovnice \(\eqref{eq:2.1.19}\) možno určiť uzlové posunutie \(\boldsymbol{U}\).

Pozrite tiež

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status