Nelineárne iterácie a časová integrácia¶

FrontISTR postupuje v riešení kombinovaním nelineárnych iterácií a časovej integrácie v každom podkroku v rámci riadenia prírastkov každého kroku. Táto stránka opisuje iteračné štruktúry medzi vonkajším riadením kroku a vnútorným lineárnym riešičom: Newtonove-Raphsonove iterácie, kontaktné iterácie, časovú integráciu pre dynamickú analýzu a rámec časového postupu a nelineárnej iterácie pri prechodovom vedení tepla.

Prehľad¶

Nelineárne riešenie a časová integrácia v rámci kroku majú vnorenú štruktúru pozostávajúcu z viacerých slučiek od vonkajšej k vnútornej. Každá vrstva má nasledujúcu úlohu.

To, ktoré z týchto vrstiev sa použijú, závisí od typu analýzy.

Spôsob výberu typu kontaktu a samotného algoritmu nájdete v Kontakte a vložení. Táto stránka opisuje, ako je zvolený algoritmus usporiadaný ako iteračná slučka.

Voľba schémy riešenia¶

Iteračná štruktúra sa určuje automaticky podľa zvoleného typu analýzy (Typy analýz), prítomnosti alebo neprítomnosti nelinearity (geometrickej nelinearity, materiálovej nelinearity alebo kontaktu) a kontaktného algoritmu (SLAGRANGE alebo ALAGRANGE). Používateľ priamo upravuje horné limity počtu iterácií a kritériá konvergencie.

Pri nastavovaní týchto parametrov platia nasledujúce odporúčania.

• Pri štandardných analýzach spravidla postačuje predvolený horný limit počtu iterácií. Ak ťažko konvergujúca úloha dosiahne maximálny počet iterácií bez konvergencie, najprv použite cutback (Riadenie krokov); horný limit zvýšte iba vtedy, ak sa tým konvergencia nezlepší.
• Kritériá konvergencie nastavte tak, aby vyvažovali stabilitu analýzy a výpočtový čas. Prísnejšie kritériá zvyšujú presnosť rovnováhy, ale zvyšujú počet iterácií. V kontaktných analýzach a analýzach s Lagrangeovými multiplikátormi môže kombinácia kritéria prírastku posunutia alebo Lagrangeovho kritéria s kritériom rezídua zlepšiť stabilitu.
• Pri parametroch časovej integrácie v dynamickej analýze (koeficienty Newmark-β) začnite štandardnou kombináciou hodnôt a upravujte ich pri zmene charakteristiky numerického tlmenia kmitavej odozvy.
• Pre schému časovej integrácie pri prechodovom vedení tepla používajte Crankovu-Nicolsonovu metódu pri úlohách s plynulými zmenami teploty a spätnú Eulerovu metódu vtedy, keď sú dôležitejšie prudké zmeny alebo dlhodobá stabilita.

Newtonova-Raphsonova iterácia v statickej analýze¶

V nelineárnej statickej analýze sa rovnice rovnováhy obsahujúce geometrickú alebo materiálovú nelinearitu riešia iteračne Newtonovou-Raphsonovou metódou. Každá iterácia prebieha takto.

1. Vyhodnoťte vektor rezídua \(\boldsymbol{R}\) pri aktuálnom riešení.
2. Zostavte dotykovú maticu tuhosti \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Vyriešte lineárnu sústavu \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) a získajte korekciu posunutia \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Aktualizujte riešenie ako \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Porovnajte výsledok s kritériami konvergencie. Ak sa dosiahne konvergencia, iteráciu ukončite; inak sa vráťte na krok 1.

Riešenie lineárnej sústavy (krok 3) vykonáva lineárny riešič. Výber riešiča a predpodmieňovača nájdete v Riešiči a predpodmieňovaní.

Iterácia sa riadi pomocou parametrov riadenia kroku !STEP. Hlavné riadiace hodnoty sú nasledujúce.

Maximálny počet Newtonových iterácií používaný pri rozhodovaní o automatickom prírastku a cutback v Riadení krokov znamená počet Newtonových iterácií opísaných na tejto stránke. Automatické riadenie prírastkov zväčší časový prírastok po podkroku, ktorý skonvergoval v malom počte iterácií, a zmenší ho po podkroku, ktorý vyžadoval veľa iterácií.

Kontaktná iterácia v statickej analýze¶

V kontaktnej analýze sa kontaktný stav počas iterácie mení v dôsledku kontaktu, oddelenia a kĺzania kontaktných plôch, preto sa Newtonova iterácia kombinuje s aktualizáciami kontaktného stavu. Štruktúra závisí od algoritmu riešenia kontaktu.

Oba algoritmy umiestňujú na najvonkajšiu úroveň slučku hľadania kontaktného stavu. Pri každom priechode touto slučkou sa po konvergencii vnútornej Newtonovej iterácie znovu vyhodnotí kontaktný stav (kontakt/oddelenie). Ak sa stav zmenil, aktualizuje sa štruktúra matice tuhosti a vnútorná iterácia sa spustí znova. Slučka končí, keď sa kontaktný stav oproti predchádzajúcemu priechodu nezmenil a sú splnené kritériá konvergencie kontaktu (kritérium kontaktnej sily a Lagrangeovho multiplikátora). Horný limit počtu priechodov určuje MAXCONTITER v !STEP.

Pri kontakte SLAGRANGE sa kontaktné stupne voľnosti začleňujú do lineárnej sústavy štandardnou metódou Lagrangeových multiplikátorov, čím vzniká dvojvrstvová štruktúra, v ktorej je Newtonova iterácia umiestnená priamo v slučke hľadania kontaktného stavu. Iterácia rozšírenej Lagrangeovej metódy sa nepoužíva.

Pri kontakte ALAGRANGE sa do slučky hľadania kontaktného stavu pridáva iterácia rozšírenej Lagrangeovej metódy a v nej sa vykonáva Newtonova iterácia, takže vzniká trojvrstvová štruktúra. V každej iterácii rozšírenej Lagrangeovej metódy sa kontaktná väzba znovu vyhodnotí kombináciou penalizačného člena a Lagrangeovho multiplikátora, čím sa postupne zlepšuje presnosť väzby. Horný limit počtu iterácií rozšírenej Lagrangeovej metódy určuje AUGITER v !CONTACT_ALGO.

Riadiace hodnoty kontaktnej iterácie sú nasledujúce.

Počet kontaktných iterácií používaný pri rozhodovaní o automatickom prírastku v Riadení krokov znamená počet iterácií opísaných na tejto stránke vrátane aktualizácií kontaktného stavu. Analýzy, v ktorých často dochádza ku kontaktu a oddeleniu, zvyčajne vyžadujú viac kontaktných iterácií, čo ovplyvňuje aj rozhodnutia o automatickom prírastku a cutback. Typy kontaktu, definície párov a výber samotného algoritmu nájdete v Kontakte a vložení. Spôsob riešenia lineárnej sústavy obsahujúcej kontaktné stupne voľnosti nájdete v Riešiči a predpodmieňovaní.

Časová integrácia v dynamickej analýze (implicitná metóda)¶

Implicitná metóda dynamickej analýzy používa Newmarkovu-β metódu na prepojenie posunutia, rýchlosti a zrýchlenia v nasledujúcom čase pri každom časovom kroku a kombinuje tieto vzťahy s pohybovou rovnicou na získanie stavu v čase \(t + \Delta t\). Obmedzenie stability časového kroku \(\Delta t\) je mierne, čo umožňuje efektívne riešiť štrukturálne odozvy, v ktorých dominujú nízkofrekvenčné zložky.

Používajú sa nasledujúce dva parametre časovej integrácie.

Kombinácia \(\beta = 1/4\) a \(\gamma = 1/2\) sa nazýva metóda priemerného zrýchlenia a predstavuje štandardnú voľbu, ktorá je bezpodmienečne stabilná a nemá numerické tlmenie. Na zavedenie numerického tlmenia zvoľte \(\gamma\) väčšie ako \(1/2\). Matematické podrobnosti o kombináciách parametrov, stabilite a charakteristikách chyby nájdete v teoretickej príručke.

Ak je zahrnutá nelinearita (geometrická nelinearita, materiálová nelinearita alebo kontakt), v každom časovom kroku sa vykonáva Newtonova iterácia; v rámci iterácie sa rieši lineárna sústava a aktualizuje sa stav. Kritériá konvergencie používajú CONVERG a súvisiace hodnoty spoločné so statickou analýzou. V dynamickej analýze s kontaktom sa do každého časového kroku začleňuje rovnaká iteračná štruktúra ako v Kontaktnej iterácii v statickej analýze.

Časový krok v dynamickej analýze sa riadi predovšetkým časovými podmienkami !STEP. Pri pevných prírastkoch !STEP určuje DTIME ako časový krok a ETIME ako trvanie kroku. Hodnoty n_step a t_delta z !DYNAMIC sa pri vynechaní !STEP a pre spätnú kompatibilitu považujú za predvolené. V nelineárnej implicitnej metóde !STEP s INC_TYPE=AUTO povoľuje automatické prírastky a cutback, pričom časový krok zväčšuje alebo zmenšuje podľa stavu Newtonových a kontaktných iterácií. Bez ohľadu na použitie pevných alebo automatických prírastkov nastavujte časový krok s ohľadom na konvergenciu aj požadovanú presnosť.

Časová integrácia v dynamickej analýze (explicitná metóda)¶

Explicitná metóda dynamickej analýzy používa metódu centrálnych diferencií na výpočet stavu v nasledujúcom čase priamo iba z informácií o posunutí, rýchlosti a zrýchlení v predchádzajúcom čase. Keďže sa nerieši sústava rovníc, výpočtové náklady na krok sú nízke. Aj pri zahrnutí nelinearity je každý časový krok jednostupňovou aktualizáciou bez Newtonovej iterácie.

Časový krok má hornú hranicu danú podmienkou stability založenou na najmenšej vlastnej perióde sústavy (podmienka CFL). Časový krok prekračujúci túto hranicu spôsobí divergenciu numerického riešenia, preto nemožno použiť veľké časové kroky ako pri implicitnej metóde. Explicitná metóda je výhodná pre javy, ako sú náraz, šírenie vĺn a vysokorýchlostný kontakt, pri ktorých sú malé časové kroky nevyhnutné.

Ak je zahrnutý kontakt, kontaktné väzby sa predpisujú metódou Forward Increment Lagrange. Kontaktné sily sa vyhodnocujú spôsobom zodpovedajúcim jednostupňovej aktualizácii explicitnej metódy.

Metóda riešenia analýzy frekvenčnej odozvy¶

Analýza frekvenčnej odozvy získava periodickú ustálenú odozvu priamo vo frekvenčnej oblasti pomocou metódy modálnej superpozície. Odozvu vyhodnocuje pri meniacej sa budiacej frekvencii a nemusí sledovať časový priebeh pomocou iterácií. Nelineárne iterácie ani časová integrácia sa nevykonávajú.

Pred vykonaním analýzy frekvenčnej odozvy sa musí pre tú istú sústavu vykonať modálna analýza a extrahovať požadovaný počet vlastných módov. Podporované sú iba lineárne modely; analýzu nemožno vykonať, keď je povolená geometrická alebo materiálová nelinearita. Zaradenie tohto typu analýzy nájdete v Typoch analýz.

Časový postup a nelineárna iterácia pri prechodovom vedení tepla¶

Prechodové vedenie tepla má vlastnú časovú slučku vykonávanú v rámci !HEAT. Časový krok sa riadi cestou oddelenou od !STEP a !AUTOINC_PARAM štrukturálnej analýzy a keď materiálové vlastnosti závisia od teploty, v každom časovom kroku sa vykonáva nelineárna iterácia.

Schéma časovej integrácie sa vyberá parametrom \(\beta\) v !HEAT.

Časový krok sa adaptívne riadi kombináciou počiatočného časového kroku, minimálneho časového kroku a maximálnej zmeny teploty na krok. Ak po výpočte v časovom kroku zmena teploty prekročí DELTMX, časový krok sa zmenší a krok sa prepočíta. Analýza sa preruší, ak časový krok klesne pod minimálny časový krok DTMIN.

Keď materiálové vlastnosti závisia od teploty, v každom časovom kroku sa vykonáva nelineárna iterácia. Iterácia sa riadi takto.

Stacionárne vedenie tepla nepoužíva časové krokovanie; nelineárna iterácia sa vykonáva iba vtedy, keď materiálové vlastnosti závisia od teploty. Keďže riadenie času analýzy vedenia tepla je nezávislé od !STEP štrukturálnej analýzy, pri úprave časového kroku skontrolujte nastavenia !HEAT.

Súvisiace témy¶

• Typy analýz — zaradenie jednotlivých typov analýz.
• Kontakt a vloženie — výber typov kontaktu, definícií párov a algoritmov riešenia.
• Riešič a predpodmieňovanie — riešenie lineárnej sústavy rovníc volané v rámci Newtonovej iterácie.
• Riadenie krokov — vonkajšie riadenie krokov/podkrokov a automatické prírastky/cutback.
• Newtonova-Raphsonova metóda (teória) — formulácia iteračnej metódy riešenia.
• Kritériá konvergencie (teória) — matematické definície ukazovateľov konvergencie.
• Metódy dynamickej analýzy (teória) — formulácia Newmarkovej-β metódy a metódy centrálnych diferencií.
• Analýza prechodového vedenia tepla (teória) — formulácia časovej integrácie vedenia tepla.
• Kontaktná analýza (teória) — formulácia metódy Lagrangeových multiplikátorov.
• Referencia kľúčových slov: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.