Gå til innhold

Transient varmeledningsanalyse

Her beskrives tidsdiskretisering og iterativ løsningsmetode for varmeledningsanalyse av faste legemer med den endelige elementmetoden (Finite Element Method). For styrende ligninger og randbetingelser i kontinuumet, se Varmeledningsligningen.

Diskretisert ligning (utgangspunkt)

Når varmeledningsligningen (ligning for varmeledning (gov_he_main)) diskretiseres med Galerkin-metoden, fås

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

der

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Her er \(K\), \(M\), \(F\) og \(N\) henholdsvis varmeledningsmatrisen (inkludert konveksjons- og strålingsbidrag fra randen), massematrisen, den termiske lastvektoren og formfunksjonsmatrisen. Definisjonene av symbolene for materialegenskaper (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) osv.) følger Varmeledningsligningen.

Tidsdiskretisering og iterativ løsning

Ligning \(\eqref{eq:2.4.8}\) er en ikke-lineær og transient ligning. Ved å diskretisere tiden med bakover-Euler-metoden beregnes temperaturen ved tidspunkt \(t=t_0+\Delta t\), når temperaturen ved \(t=t_0\) er kjent, ved hjelp av følgende ligning.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Betrakt temperaturvektoren \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), som tilnærmet oppfyller ligning \(\eqref{eq:2.4.13}\), og forbedre den for å finne den mer nøyaktige løsningen \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

For dette formålet uttrykkes først temperaturvektoren som følger.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Produktet av varmeledningsmatrisen og temperaturvektoren, massematrisen og relaterte ledd uttrykkes tilnærmet som følger.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Når ligning \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) og \(\eqref{eq:2.4.16}\) settes inn i ligning \(\eqref{eq:2.4.13}\), og ledd av andre og høyere orden neglisjeres, fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Koeffisientmatrisen på venstre side evalueres videre tilnærmet med følgende ligning.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Her er \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) tangentstivhetsmatrisen.

Til slutt kan temperaturen ved tidspunkt \(t=t_0+\Delta t\) beregnes ved å utføre iterative beregninger med følgende ligning.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

For stasjonær analyse spesielt utføres de iterative beregningene med følgende ligning.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

I transient analyse benyttes en implisitt metode for tidsdiskretisering, og valget av tidsinkrement \(\Delta t\) er derfor generelt ikke underlagt en begrensning på størrelsen. Hvis tidsinkrementet \(\Delta t\) er for stort, øker imidlertid antall iterasjoner som kreves for konvergens. Generelt øker antall iterasjoner når tidsinkrementet \(\Delta t\) er for stort. I implementasjonen brukes automatisk inkrementstyring som overvåker størrelsen på residualvektoren, reduserer \(\Delta t\) når konvergensen er langsom og øker \(\Delta t\) når antall iterasjoner er lite (→ se Stegstyring for detaljer).

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status