Gå til innhold

Liste over symboler for fysiske størrelser

Denne siden viser symbolene for fysiske størrelser som brukes i FrontISTR-teorimanualen. For notasjonssregler (fet skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summekonvensjon og Voigt-notasjon), se Tensornotasjon og matematisk grunnlag.

Konfigurasjoner og koordinatsystemer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{X}\) Posisjonsvektor for et materialpunkt i referansekonfigurasjonen (initialkonfigurasjonen) (materialkoordinater)
\(\boldsymbol{x}\) Posisjonsvektor for et materialpunkt i gjeldende konfigurasjon (romkoordinater)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Bevegelsesavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Området som legemet opptar i referansekonfigurasjonen
\(\Omega\) Området som legemet opptar i gjeldende konfigurasjon
\(\Gamma_0\) Randen til \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Randen til \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrisk (forskyvnings-)rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er foreskrevet
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekanisk rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet
\(\boldsymbol{n}\) Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i gjeldende konfigurasjon
\(\boldsymbol{N}\) Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i referansekonfigurasjonen
\(t\) Tid

Konvensjon: Fysiske størrelser i referansekonfigurasjonen betegnes med store bokstaver eller senket indeks \(0\), mens størrelser i gjeldende konfigurasjon betegnes med små bokstaver.

Tid og inkrementer (inkrementell analyse)

Symbol Beskrivelse
\(\Delta t\) Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (venstrestilt hevet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spenningen ved tidspunkt \(t\)
\(^{t}\Omega\) Område for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Rand for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\)

Konvensjon: I inkrementell analyse behandles tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kjent, og tilstanden ved tidspunkt \(t + \Delta t\) løses som ukjent. Den venstrestilte hevede indeksen utelates når tidspunktet ikke trenger å angis eksplisitt. En formulering som bruker referansekonfigurasjonen \(\Omega_0\) som referanse, kalles Total Lagrange-formulering, mens en formulering som bruker gjeldende konfigurasjon \(^{t}\Omega\) ved starten av inkrementet som referanse, kalles Updated Lagrange-formulering.

Forskyvning, hastighet, akselerasjon og volumkraft

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{u}\) Forskyvningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Forskyvning foreskrevet på den geometriske randen \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuell forskyvning (testfunksjon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Akselerasjonsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Volumkraft (per masseenhet)
\(\boldsymbol{t}\) Traksjonsvektor (per arealenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traksjon foreskrevet på den mekaniske randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data)

Differensialoperatorer

Symbol Beskrivelse
\(\dot{(\cdot)}\) Materiell tidsderivert (tidsderivert som følger samme materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient i referansekonfigurasjonen (gradient med hensyn på materialkoordinatene \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient i gjeldende konfigurasjon (gradient med hensyn på romkoordinatene \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Merknad: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relatert ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient uten senket indeks, \(\nabla\), brukes når konfigurasjonen fremgår av sammenhengen, eller når skillet forsvinner, som ved små deformasjoner.

Deformasjonstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{F}\) Deformasjonsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Volumforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Høyre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Venstre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformasjonshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tøyningstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-tøyningstensor (referansekonfigurasjon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-tøyningstensor (gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Lineær del av Almansi-tøyningstensoren (symmetrisk forskyvningsgradient i gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimal tøyningstensor (lineær approksimasjon): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Merknad: \(\boldsymbol{E}\) brukes hovedsakelig i Total Lagrange-formuleringen, mens \(\boldsymbol{D}\) brukes hovedsakelig i Updated Lagrange-formuleringen.

Spenningstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spenningstensor (sann spenning, gjeldende konfigurasjon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Første Piola-Kirchhoff-spenningstensor (nominell spenning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Andre Piola-Kirchhoff-spenningstensor (referansekonfigurasjon, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Omregningsrelasjoner mellom spenningstensorene:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvensjon: Total Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Tetthet og masse

Symbol Beskrivelse
\(\rho\) Massetetthet i gjeldende konfigurasjon
\(\rho_0\) Massetetthet i referansekonfigurasjonen

Massebevaring: \(\rho_0 = J\rho\).

Materialkonstanter (lineær elastisitet)

Symbol Beskrivelse
\(E\) Youngs modul
\(\nu\) Poissons tall
\(\lambda\) Første Lamé-konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Andre Lamé-konstant (skjærmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastisitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\)
\(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) Materialmatrise (Voigt-notasjon, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponenter i elastisitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastiske materialer

Symbol Beskrivelse
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastisk potensialfunksjon (tøyningsenergitetsfunksjon)
\(I_1, I_2, I_3\) Hovedinvarianter til høyre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reduserte invarianter av \(\boldsymbol{C}\) (volumendringen er separert)
\(C_1, C_2\) Materialkonstanter for Mooney-Rivlin-modellen
\(D\) Materialkonstant knyttet til volumelastisitet

Elastoplastiske materialer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Flytefunksjon
\(\kappa\) Intern variabel som representerer den plastiske tilstanden (isotrop herdingsvariabel)
\(\lambda^p\) Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøyningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastisk potensial (\(\Theta = F\) for en assosiert flyteregel)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentspenning (f.eks. von Mises-spenning)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalent plastisk tøyning
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotrop herdingsfunksjon

Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Elementmetoden

Symbol Beskrivelse
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Områder i gjeldende og referansekonfigurasjon approksimert ved endelig-element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementområde i gjeldende og referansekonfigurasjon
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Del av elementranden som tilhører den mekaniske randen
\(\boldsymbol{r}\) Naturlige koordinater (elementlokale koordinater)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt i naturlige koordinater som svarer til node \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Formfunksjon som svarer til node \(\alpha\) i element \(e\)
\(n_e\) Antall noder som utgjør et element
\(n_g\) Totalt antall globale noder
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinater og forskyvning for elementnode \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektorer for elementnodekoordinater og -forskyvninger: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globale vektorer for nodekoordinater og -forskyvninger (ordnet etter nodenummer og deretter frihetsgrad)
\(\boldsymbol{B}\) Tøynings-forskyvningsmatrise (B-matrise)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formfunksjonsmatrise: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blokk med formfunksjonen \(N_\alpha^e\) for node \(\alpha\) på diagonalen, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elementstivhetsmatrise
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrander i elementstivhetsmatrisen (uttrykt i referanse- og gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) Elementets indre kraftvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Ytre nodekraft som virker på elementnode \(\alpha\), og elementets vektor for ytre nodekrefter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Global indre kraftvektor og global ytre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); tilsvarende for \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Indre nodekraft og ytre nodekraft ved global node \(i_g\) (nodeblokker i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Global tangentstivhetsmatrise: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrise dannet ved å plassere \(3\times 3\)-blokken \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) i rad \(i_g\), kolonne \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Residualvektor i Newton-Raphson-iterasjon: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korreksjon i Newton-Raphson-iterasjonen (oppnådd ved å løse den lineære ligningen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ved iterasjon \(i\))
\(i_g\) Globalt nodenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalt nodenummer som svarer til lokalt nodenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Mengde av \((e, \alpha)\)-par som svarer til globalt nodenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Brukes ved assemblering
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Mengde av \((e, \alpha, \beta)\)-tupler som svarer til paret av globale nodenumre \((i_g, i_h)\); brukes ved assemblering av stivhetsmatrisen
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indekser for noder som utgjør et element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indekser for frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D)

Avanserte elementer og strukturelementer

Symbol Beskrivelse
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Tøynings-forskyvningsmatrise der volumdelen er modifisert med B-bar-metoden (volumkomponenten erstattes av B-matrisen evaluert i elementsenteret)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformasjonsgradient der volumdelen er modifisert med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Volumforhold for deformasjonsgradienten evaluert i elementsenteret \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Intern frihetsgradsvektor for et element med inkompatibel modus (koeffisienter for ekstra forskyvningsmodi som ikke sikrer kontinuitet på elementranden)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Formfunksjoner for inkompatible modi: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Tykkelse på skallelement
\(A\) Tverrsnittsareal for et bjelkeelement
\(I\) Andre arealmoment for tverrsnittet til et bjelkeelement
\(G\) Skjærmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status