Varmeledningsligningen¶

Dette kapitlet sammenfatter på kontinuumsnivå den styrende ligningen for varmeledning som behandles av FrontISTR, samt randbetingelsene. Tidsdiskretisering og FEM-diskretisering behandles i henholdsvis diskretiseringsdelen (L3d) og delen om løsningsalgoritmer (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Styrende ligning¶

Varmeledningsligningen i et kontinuum er gitt som følger.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Her betegner \(\rho=\rho(x)\) massetetthet, \(c=c(x,T)\) spesifikk varmekapasitet, \(T=T(x,t)\) temperatur, \(k=k(x,T)\) varmeledningsevne, \(Q=Q(x,T,t)\) varmeutvikling, \(x\) posisjon og \(t\) tid. \(k_x, k_y, k_z\) er varmeledningsevnene i de respektive retningene ved anisotrop varmeledning.

Se termiske egenskaper for konkrete termiske materialegenskaper, inkludert temperaturavhengighet og anisotropi.

Randbetingelser¶

La området som betraktes være \(S\), med randen \(\Gamma\). Forutsatt at enten en randbetingelse av Dirichlet-type eller Neumann-type er foreskrevet overalt på \(\Gamma\), er randbetingelsene gitt som følger.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Her antas funksjonsformene til \(T_1\) og \(q\) å være kjente. \(q\) er varmefluksen som forlater randen. Randvarmefluksen \(q\) består av følgende tre komponenter.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Her er \(q_s\) den fordelte varmefluksen, \(q_c\) varmefluksen som skyldes konvektiv varmeoverføring, og \(q_r\) varmefluksen som skyldes strålingsvarmeoverføring.

Her er \(Tc=Tc(x,t)\) omgivelsestemperaturen for konvektiv varmeoverføring, \(hc=hc(x,t)\) varmeovergangskoeffisienten for konveksjon, \(Tr=Tr(x,t)\) omgivelsestemperaturen for strålingsvarmeoverføring, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) varmeovergangskoeffisienten for stråling, \(\varepsilon\) emissiviteten, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann-konstanten og \(F\) synsfaktoren.

Se randbetingelser og laster i funksjonsreferansen for hvordan disse betingelsene angis i en inndatafil.

Svak form¶

Kobling med strukturanalyse¶

Relaterte emner¶

Transient varmeledning — Tidsdiskretisering og ikke-lineær iterasjon
Termiske egenskaper — Formulering av materialegenskaper og temperaturavhengighet
Formfunksjoner og endelig-element-approksimasjon — Rammeverk for FEM-diskretisering
Funksjonsreferanse: Randbetingelser og laster — Inndata for randbetingelser i varmeledningsanalyse