Rammeverk for inkrementell analyse¶

Behovet for inkrementell analyse¶

Som beskrevet ovenfor kan endelig-elementanalyse av problemer med små deformasjoner utføres ved å bruke prinsippet om virtuelt arbeid, som er ekvivalent med grunnligningene slik som likevektsligningene, og diskretisere denne ligningen med endelige elementer. Det samme grunnleggende prinsippet om virtuelt arbeid brukes også ved analyse av problemer med endelig deformasjon som innebærer store deformasjoner av konstruksjoner.

I problemer med endelig deformasjon blir imidlertid ligningen for prinsippet om virtuelt arbeid ikke-lineær med hensyn på forskyvningen, selv om materiallinearitet antas. For å løse ikke-lineære ligninger utføres det vanligvis iterative beregninger ved hjelp av en iterativ metode.

I disse iterative beregningene brukes en inkrementell analysemetode der beregningen utføres stykkevis for små lastinkrementer, og inkrementene akkumuleres til den endelige deformerte tilstanden er nådd. Når et problem med små deformasjoner antas, skilles det ikke spesielt mellom konfigurasjonene før og etter deformasjon ved definisjon av tøyning og spenning. Det vil si at under antakelsen om små deformasjoner spiller det ingen rolle om konfigurasjonen som brukes til å beskrive grunnligningene, er konfigurasjonen før eller etter deformasjonen.

Når inkrementell analyse utføres for et problem med endelig deformasjon, varierer formuleringen avhengig av om den opprinnelige konfigurasjonen eller konfigurasjonen ved starten av inkrementet velges som referansekonfigurasjon. Den førstnevnte kalles Total Lagrange-metoden, og den sistnevnte Updated Lagrange-metoden. Se referansene på slutten av kapitlet og relatert materiale for detaljer.

Startligning: Prinsippet om virtuelt arbeid ved tidspunkt \(t'\)¶

Betrakt en inkrementell analyse der tilstanden fram til tidspunkt \(t\) er kjent og tilstanden ved tidspunkt \(t' = t + \Delta t\) er ukjent (se figur 2.2.1). Likevektsligningene, randbetingelsene og prinsippet om virtuelt arbeid ved tidspunkt \(t'\) (uttrykt i den aktuelle konfigurasjonen ved hjelp av Cauchy-spenningen \(^{t'}\sigma\) og den lineære delen av Almansi-tøyningen \(^{t'} A_{(L)}\)) er gitt i Prinsippet om virtuelt arbeid.

Figur 2.2.1 Konsept for inkrementell analyse

Fordi denne startligningen er skrevet i den (ukjente) konfigurasjonen ved tidspunkt \(t'\), velger den faktiske løsningsprosedyren imidlertid enten den opprinnelige konfigurasjonen \(V\) ved tidspunkt \(0\) eller den aktuelle konfigurasjonen \(^{t'} v\) ved tidspunkt \(t\) som referansekonfigurasjon, omskriver ligningen til inkrementell form og løser den deretter:

• Total Lagrange-metoden — Bruker den opprinnelige konfigurasjonen \(V\) som referanse. Andre PK-spenning \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyning \(\boldsymbol{E}\) brukes.
• Updated Lagrange-metoden — Bruker den aktuelle konfigurasjonen \(^{t}v\) ved starten av inkrementet som referanse. Cauchy-spenning \(\boldsymbol{\sigma}\) og den lineære delen av Almansi-tøyningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) brukes.

For romlig diskretisering av begge formuleringene (B-matrise og internkraftvektor), se Diskretisering av internt virtuelt arbeid; for linearisering og oppbygging av tangentstivheten, se Tangentstivhetsmatrise.

Relaterte emner¶

• Prinsippet om virtuelt arbeid — Hovedstartligning (svak form i aktuell og opprinnelig konfigurasjon)
• Diskretisering av internt virtuelt arbeid — B-matriser og internkraftvektorer for TL/UL
• Tangentstivhetsmatrise — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) oppnådd ved linearisering
• Newton-Raphson-metoden — Iterativ algoritme