Gå til innhold

Prinsippet om virtuelt arbeid

Med utgangspunkt i likevektsligningen og randbetingelsene som er utledet i Spenning og bevaringslover, utleder vi prinsippet om virtuelt arbeid, som er den svake formen av randverdiproblemet i kontinuumsmekanikken. Endelig-elementdiskretiseringen starter fra denne svake formen. Dette kapitlet presenterer både formuleringen i aktuell konfigurasjon (uttrykt ved Cauchy-spenning og den lineære delen av Almansi-tøyningen) og formuleringen i referansekonfigurasjon (uttrykt ved andre Piola-Kirchhoff-spenning og Green-Lagrange-tøyning), viser at de er ekvivalente, og bekrefter deretter reduksjonen til små deformasjoner.

Likevektsligning og randbetingelser

La \(\boldsymbol{g}\) være volumkraften som virker på kontinuumet per masseenhet, og betrakt et legeme som opptar domenet \(\Omega\) i den aktuelle konfigurasjonen. Randen \(\Gamma\) deles i den geometriske randen der forskyvningen er foreskrevet som \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), og den mekaniske randen der traksjonen er foreskrevet som \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), med \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) og \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). For et statisk problem fås likevektsligningen ved å utelate treghetsleddet fra impulsbevaringsloven som er vist i Spenning og bevaringslover:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ \Omega \]

Randbetingelsene er

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

I det følgende utledes prinsippet om virtuelt arbeid som den svake formen av likevektsligningen og den mekaniske randbetingelsen \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Den geometriske randbetingelsen \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) innarbeides gjennom valget av testfunksjon.

Svak form i aktuell konfigurasjon

I den svake formen defineres henholdsvis det tillatte rommet for den ukjente forskyvningen og testfunksjonsrommet som

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]

Her er \(d\) romdimensjonen, \(H^1(\Omega)\) Sobolev-rommet av funksjoner som er kvadratintegrerbare sammen med sine første svake deriverte, og \(\delta\) betegner variasjon. I formuleringen i aktuell konfigurasjon er \(\Omega\) den deformerte konfigurasjonen; i en faktisk numerisk løsning trekkes den tilbake til referansekonfigurasjonen eller til en kjent mellomliggende konfigurasjon.

Ved å multiplisere likevektsligningen med vekten \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) og anvende Gauss' divergensteorem og den mekaniske randbetingelsen, fås følgende prinsipp om virtuelt arbeid i den aktuelle konfigurasjonen.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Her er \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) den lineære delen av Almansi-tøyningstensoren, definert ved

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variasjonen er \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Vi søker altså \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) slik at ligningen for virtuelt arbeid er oppfylt for enhver \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Venstresiden er det virtuelle arbeidet til de indre kreftene, mens høyresiden er det virtuelle arbeidet til ytre krefter som skyldes foreskrevet traksjon og volumkraft.

Fordi denne ligningen er skrevet over det deformerte domenet (aktuell konfigurasjon), velger en faktisk løsningsprosedyre den opprinnelige konfigurasjonen \(\Omega_0\) (referansekonfigurasjonen) eller en kjent mellomliggende konfigurasjon på nytt som referansekonfigurasjon, omskriver ligningen til inkrementell form og løser den deretter. Se Rammeverk for inkrementell analyse for det konkrete valget av referansekonfigurasjon (Total Lagrange / Updated Lagrange) og den inkrementelle dekomponeringen.

Svak form i den opprinnelige konfigurasjonen

Betrakt et legeme som opptar domenet \(\Omega_0\) i referansekonfigurasjonen, med rand \(\Gamma_0\) delt i \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Ved å trekke formuleringen i aktuell konfigurasjon tilbake til referansekonfigurasjonen fås det konjugerte spennings-tøyningsparet av andre Piola-Kirchhoff-spenning \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyning \(\boldsymbol{E}\). Prinsippet om virtuelt arbeid i den opprinnelige konfigurasjonen er da

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Her er \(\rho_0\) massetettheten i referansekonfigurasjonen, og ved massebevaringsrelasjonen \(\rho_0 = J\rho\) er dette ekvivalent med volumkraftformuleringen i aktuell konfigurasjon.

Ekvivalens mellom formuleringene i aktuell og opprinnelig konfigurasjon

Det virtuelle arbeidet til de indre kreftene i de to formuleringene sammenfaller gjennom transformasjonen med deformasjonsgradienten \(\boldsymbol{F}\) og volumforholdet \(J = \det \boldsymbol{F}\); nemlig

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Leddene for ytre krefter er også ekvivalente gjennom massebevaring og traksjonstransformasjon. Ligningen for virtuelt arbeid i aktuell konfigurasjon og den i opprinnelig konfigurasjon uttrykker derfor samme prinsipp i forskjellige konfigurasjoner. En løsningsmetode som refererer til referansekonfigurasjonen, tilsvarer Total Lagrange-metoden, mens en løsningsmetode som refererer til den aktuelle konfigurasjonen (den umiddelbart foregående konvergerte konfigurasjonen), tilsvarer Updated Lagrange-metoden.

Reduksjon til små deformasjoner

Under antakelsene om små deformasjoner \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) og \(J \approx 1\) forsvinner skillet mellom aktuell og referansekonfigurasjon, andre PK-spenning sammenfaller med Cauchy-spenningen (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), og både Green-Lagrange-tøyningen og den lineære delen av Almansi-tøyningen reduseres til den infinitesimale tøyningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Prinsippet om virtuelt arbeid reduseres da til den svake formen uttrykt ved Cauchy-spenningen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den infinitesimale tøyningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

Dette er den svake formen som brukes direkte til diskretisering i lineærelastisk statisk analyse med små deformasjoner (Lineær elastisk statisk analyse (introduksjon og appendiks) starter fra denne formen og viser oppbyggingen av elementstivheten \(\boldsymbol{K}^e\) gjennom sammenstilling av den globale ligningen \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Ved å sette inn den lineærelastiske konstitutive loven \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) og skrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notasjon, blir den svake formen

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

som har denne formen.

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status