Spenning og bevaringslover¶

Dette kapitlet organiserer definisjonene av og sammenhengene mellom spenningstensorer, sammen med likevektsligningene og spenningssymmetrien som utledes fra bevaring av masse, lineær impuls og dreieimpuls. De tre spenningstensorene—Cauchy-spenning \(\boldsymbol{\sigma}\), første Piola-Kirchhoff-spenning \(\boldsymbol{P}\) og andre Piola-Kirchhoff-spenning \(\boldsymbol{S}\)—innføres etter hvilken konfigurasjon som brukes for referanseflaten og kraftvektoren. Se Bevegelse, deformasjon og tøyning for definisjoner av konfigurasjon, bevegelse og deformasjonsgradient, og Liste over symboler for fysiske størrelser for symbollisten.

Cauchy-spenningstensor¶

La \(d\boldsymbol{f}\) være kraften som virker på en infinitesimal flate i et punkt \(\boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfigurasjonen (areal \(d\Gamma\), utadrettet enhetsnormal \(\boldsymbol{n}\)), og definer traksjonsvektoren \(\boldsymbol{t}\) som kraft per arealenhet ved \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) avhenger både av posisjonen \(\boldsymbol{x}\) og normalen \(\boldsymbol{n}\). Anvendelse av impulsbevaring på et infinitesimalt tetraeder viser at \(\boldsymbol{t}\) er lineær i \(\boldsymbol{n}\), slik at det finnes en tensor av andre orden \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) slik at

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

for enhver \(\boldsymbol{n}\) (Cauchys spenningsteorem). Denne tensoren \(\boldsymbol{\sigma}\) kalles Cauchy-spenningstensoren, og kalles også sann spenning fordi den representerer kraft per arealenhet målt med hensyn på geometrien i den aktuelle konfigurasjonen. Komponenten \(\sigma_{ij}\) representerer \(x_i\)-komponenten av kraft per arealenhet som virker på en infinitesimal flate normal på koordinataksen \(x_j\) i den aktuelle konfigurasjonen.

Som vist senere fra bevaring av dreieimpuls er Cauchy-spenningen en symmetrisk tensor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

I tre dimensjoner har den derfor seks uavhengige komponenter (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorisering av spenning i Voigt-notasjon forutsetter denne symmetrien (se Tensornotasjon og matematisk grunnlag). Cauchy-spenning brukes for spenningsutdata i FrontISTR ved geometrisk ikke-lineær analyse med Updated Lagrange-metoden og ved analyse av små deformasjoner.

Første og andre Piola-Kirchhoff-spenning¶

Ved endelig deformasjon er det ofte praktisk å uttrykke spenning med referanse til flater og vektorer i referansekonfigurasjonen, og derfor innføres to Piola-Kirchhoff-spenningstensorer. La arealet av en infinitesimal flate i referansekonfigurasjonen være \(d\Gamma_0\) og dens utadrettede enhetsnormal være \(\boldsymbol{N}\).

Første Piola-Kirchhoff-spenning (første PK-spenning, nominell spenning) \(\boldsymbol{P}\) defineres som spenningstensoren som fås når kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuelle konfigurasjonen påføres en infinitesimal flate i referansekonfigurasjonen:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Bruk av Nansons formel \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) sammen med Cauchys spenningsteorem gir relasjonen til Cauchy-spenningen

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Første PK-spenning er generelt ikke-symmetrisk.

Andre Piola-Kirchhoff-spenning (andre PK-spenning) \(\boldsymbol{S}\) defineres som spenningstensoren som fås ved å trekke kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuelle konfigurasjonen tilbake til referansekonfigurasjonen med \(\boldsymbol{F}^{-1}\) og anvende den på en infinitesimal flate i referansekonfigurasjonen:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Både kraftvektoren og flaten den virker på uttrykkes med størrelser i referansekonfigurasjonen, noe som gjør den invariant under stivlegemerotasjon og symmetrisk. Relasjonen til første PK-spenning og transformasjonen fra Cauchy-spenning er

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Andre PK-spenning utledes fra en hyperelastisk tøyningsenergifunksjon \(W(\boldsymbol{C})\) som \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) og brukes i Total Lagrange-metoden sammen med Green-Lagrange-tøyningen \(\boldsymbol{E}\) som det arbeidskonjugerte paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referansekonfigurasjonene og symmetriegenskapene er oppsummert nedenfor. I grensen for små deformasjoner (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) faller de tre spenningene sammen.

Spenningstensor	Referanseflate	Kraftvektor	Symmetri	Anvendelse
Cauchy-spenning \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuell konfigurasjon \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuell konfigurasjon \(d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Updated Lagrange-metoden / analyse av små deformasjoner
Første PK-spenning \(\boldsymbol{P}\)	Referansekonfigurasjon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuell konfigurasjon \(d\boldsymbol{f}\)	Generelt ikke-symmetrisk	Likevektsligninger i referansekonfigurasjonen
Andre PK-spenning \(\boldsymbol{S}\)	Referansekonfigurasjon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referansekonfigurasjon \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Total Lagrange-metoden / hyperelastisitet

Bevaring av masse og impuls og likevektsligningene¶

La \(\rho\) være massetettheten i den aktuelle konfigurasjonen og \(\rho_0\) massetettheten i referansekonfigurasjonen. Loven om massebevaring \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), sammen med transformasjonen av volumelementet \(dv = J\, dV\), reduseres til den lokale formen

\[ \rho_0 = J \rho \]

Dette er den lokale relasjonen for massebevaring.

La \(\boldsymbol{g}\) være volumkraften per masseenhet og \(\boldsymbol{a}\) akselerasjonen. Ved å anvende Cauchys spenningsteorem og Gauss' divergensteorem på bevaring av lineær impuls (Eulers første bevegelseslov) fås den lokale likevektsligningen (bevegelsesligningen) i den aktuelle konfigurasjonen:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Omskriving av integralet i referansekonfigurasjonen ved hjelp av Nansons formel og \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) gir den lokale formen i referansekonfigurasjonen:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

De to formene er ekvivalente gjennom spenningstransformasjonsregelen og \(\rho_0 = J\rho\). Når treghetsleddet neglisjeres, fås

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

som er den statiske likevektsligningen og danner utgangspunktet for statisk analyse i FrontISTR (lineær og ikke-lineær).

Bevaring av dreieimpuls og spenningssymmetri¶

Kombinering av bevaring av dreieimpuls (Eulers andre bevegelseslov) med likevektsligningen fra bevaring av lineær impuls gir symmetrien til Cauchy-spenningstensoren:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Dermed har den seks uavhengige komponenter i tre dimensjoner. Ved å transponere begge sider av transformasjonen \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) og bruke at \(\boldsymbol{F}\) er ikke-singulær, følger det at også andre PK-spenning er symmetrisk:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

og derfor også har seks uavhengige komponenter. Derimot er første PK-spenning \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) generelt ikke symmetrisk; bare relasjonen \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) gjelder (det vil si at \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) er symmetrisk), og den har ni uavhengige komponenter.

Disse symmetriene er grunnlaget for å uttrykke spenning som en sekskomponents vektor i Voigt-notasjon. Se Tensornotasjon og matematisk grunnlag og Lineær elastisitet for konvensjoner for Voigt-notasjon og oppbygging av materialmatriser.