Bevegelse, deformasjon og tøyning¶

Referansekonfigurasjon og gjeldende konfigurasjon¶

Definisjon av konfigurasjoner¶

For å skille mellom hvilken form i tiden som brukes som referanse ved beskrivelse av fysiske størrelser, bruker denne manualen to konfigurasjoner.

Referansekonfigurasjon (reference configuration): den udeformerte formen ved starten av analysen (tid \(0\)), også kalt initialkonfigurasjonen. Et punkt i referansekonfigurasjonen representeres med materialkoordinaten \(\boldsymbol{X}\), med volum \(V\) og overflate \(S\).
Gjeldende konfigurasjon (current configuration): den deformerte formen ved tiden \(t\). Et punkt i den gjeldende konfigurasjonen representeres med romkoordinaten \(\boldsymbol{x}\), med volum \(v\) og overflate \(s\).

Bevegelsen uttrykkes som en avbildning mellom disse to konfigurasjonene, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), og forskyvningen defineres som \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfigurasjonsavhengig notasjonskonvensjon (store/små bokstaver)¶

Store og små bokstaver brukes til å skille hvilken konfigurasjon en fysisk størrelse tilhører.

Størrelser som tilhører referansekonfigurasjonen, skrives med store bokstaver (for eksempel \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Størrelser som tilhører den gjeldende konfigurasjonen, skrives med små bokstaver (for eksempel \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
For størrelser som spenner over begge konfigurasjonene, som den første Piola-Kirchhoff-spenningen \(\boldsymbol{P}\), brukes konvensjonelle symboler, og dette presiseres i teksten ved behov.
I smådeformasjonsteori forsvinner skillet mellom de to konfigurasjonene, og derfor brukes bare små bokstaver (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradient i referansekonfigurasjonen og gjeldende konfigurasjonen¶

Notasjon og betydning avhenger av hvilken konfigurasjon den romlige derivasjonen tas med hensyn på.

Gradient i referansekonfigurasjonen \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient med hensyn på materialkoordinatene. Eksempel: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient i gjeldende konfigurasjon \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient med hensyn på romkoordinatene. Eksempel: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

De er knyttet sammen ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Se Tensornotasjon og matematisk grunnlag for konvensjonen for tidsderivert (materiell tidsderivert \(\dot{(\cdot)}\)).

Beskrivelse av bevegelse¶

Bevegelsesavbildning og materiell/romlig beskrivelse¶

Betraktes kontinuumet som en samling materialpunkter merket med posisjonen \(\boldsymbol{X}\) ved tiden \(0\), beskrives bevegelsen ved en avbildning \(\phi\) som knytter materialpunktet \(\boldsymbol{X}\) til dets posisjon \(\boldsymbol{x}\) ved tiden \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Med konvensjonen der referansekonfigurasjonen er initialkonfigurasjonen, er \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Det skilles mellom to beskrivelser avhengig av valg av uavhengige variabler.

Materiell beskrivelse (Lagrange-beskrivelse): fysiske størrelser uttrykkes som funksjoner av \((\boldsymbol{X}, t)\). I faststoffmekanikk er dette et naturlig valg fordi referansekonfigurasjonen er gitt som en fast form.
Romlig beskrivelse (Euler-beskrivelse): fysiske størrelser uttrykkes som funksjoner av \((\boldsymbol{x}, t)\). Dette er standardbeskrivelsen i fluidmekanikk.

FrontISTRs strukturanalyse bygger i hovedsak på den materielle beskrivelsen, men Updated Lagrange-metoden bruker også størrelser i den romlige beskrivelsen fordi den gjeldende konfigurasjonen brukes som ny referansekonfigurasjon.

Forskyvning, hastighet og akselerasjon¶

Som beskrevet ovenfor defineres forskyvningen \(\boldsymbol{u}\) som \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Det gjøres ingen antakelse om størrelsen, slik at også endelig deformasjon omfattes. Hastighets- og akselerasjonsvektorene defineres som materielle tidsderiverte av \(\boldsymbol{u}\) med materialpunktet holdt fast:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Disse ligningene definerer hastighet og akselerasjon.

Deformasjonsgradient og deformasjonstensorer¶

Deformasjonsgradienttensoren¶

Den grunnleggende størrelsen i kontinuumsmekanikk med endelig deformasjon er deformasjonsgradienttensoren \(\boldsymbol{F}\). Den er den lineære avbildningen som avbilder et infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{X}\) i referansekonfigurasjonen til et infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{x}\) i den gjeldende konfigurasjonen, og defineres som gradienten av bevegelsesavbildningen med hensyn på materialkoordinatene:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Med denne definisjonen (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) er \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) i udeformert tilstand. \(\boldsymbol{F}\) brukes i stor utstrekning til å definere tøyning og spenning og til å transformere fysiske størrelser mellom konfigurasjoner.

Volumforhold¶

Forholdet mellom et infinitesimalt volum \(dV\) i referansekonfigurasjonen og det tilsvarende infinitesimale volumet \(dv\) i den gjeldende konfigurasjonen kalles volumforholdet \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibilitet for kontinuumet krever \(J > 0\). Massebevaring uttrykkes som \(\rho_0 = J\rho\).

Høyre og venstre Cauchy-Green-deformasjonstensor¶

Siden deformasjonsgradienten \(\boldsymbol{F}\) inneholder stivlegemerotasjon, brukes størrelser der stivlegemerotasjonen er fjernet som mål på selve deformasjonen. Høyre Cauchy-Green-deformasjonstensor \(\boldsymbol{C}\) (referansekonfigurasjon) og venstre Cauchy-Green-deformasjonstensor \(\boldsymbol{b}\) (gjeldende konfigurasjon) defineres som

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Begge er symmetriske tensorer og har de samme egenverdiene (kvadratet av hovedstrekkforholdene). Hovedinvariantene til hyperelastiske tøyningsenergifunksjoner uttrykkes ved hjelp av disse tensorene.

Tøyningstensorer¶

Green-Lagrange-tøyningstensor¶

Som tøyningsmål referert til referansekonfigurasjonen defineres Green-Lagrange-tøyningstensoren \(\boldsymbol{E}\) ved

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Dette er en symmetrisk tensor som uttrykker endringen i skalarproduktet mellom infinitesimale vektorer i referansekonfigurasjonen, er invariant under stivlegemerotasjon og oppfyller \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) i udeformert tilstand. Med \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) fås

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tøyningen uttrykkes dermed som summen av første- og andreordensledd i forskyvningsgradienten; andreordensleddet representerer geometrisk ikke-linearitet. I Total Lagrange-metoden brukes den som det arbeidskonjugerte paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-tøyningstensor¶

Som tøyningsmål referert til den gjeldende konfigurasjonen defineres Almansi-tøyningstensoren \(\boldsymbol{e}\) ved

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Den er knyttet til Green-Lagrange-tøyningen ved \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Infinitesimal tøyningstensor¶

Når forskyvningsgradienten er liten (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kan andreordensleddet i Green-Lagrange-tøyningen neglisjeres. Siden skillet mellom de to konfigurasjonene da forsvinner, reduseres den til den infinitesimale tøyningstensoren \(\boldsymbol{\varepsilon}\), der gradienten skrives i romkoordinater:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR bruker dette tøyningsmålet i lineær statisk analyse, modalanalyse, frekvensresponsanalyse og lineær dynamisk analyse. Ved endelig deformasjonsanalyse brukes \(\boldsymbol{E}\) i Total Lagrange-metoden, mens deformasjonshastighetstensoren \(\boldsymbol{D}\) referert til den gjeldende konfigurasjonen brukes i Updated Lagrange-metoden.