Avanserte elementformuleringer¶

Den standard forskyvningsbaserte formuleringen som er vist i Formulering av tredimensjonale solidelementer, viser kunstig for høy stivhet, såkalt låsing (volumlåsing eller skjærlåsing), når den brukes på tilnærmet inkompressible materialer eller tynnveggede strukturer dominert av bøyning. For å unngå dette tilbyr FrontISTR B-bar- og F-bar-metodene, som erstatter bare volumdelen av B-matrisen eller deformasjonsgradienten, inkompatible elementer med interne frihetsgrader, u-p-blandingselementer der trykket er et uavhengig ukjent felt, samt MITC-skallelementer og bjelkeelementer spesielt for plate- og bjelkestrukturer.

Dette kapitlet oppsummerer formuleringene for disse avanserte elementene og strukturelementene element for element.

B-bar-metoden¶

Når et 8-noders lineært heksaederelement brukes for et tilnærmet inkompressibelt materiale, kan tøyningsfeltet i ett element være i konflikt med kravet om konstant volum, noe som gir kunstig høy stivhet kalt volumlåsing. B-bar-metoden [Hughes1980] reduserer denne overbegrensningen ved å erstatte komponentene i B-matrisen som bidrar til volumetrisk ekspansjon, med verdier evaluert i elementsentrum.

La B-matrisen beregnet fra de romlige derivertene av formfunksjonene i elementsentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) være \(\bar{\boldsymbol{B}}\), og den ordinære B-matrisen beregnet i integrasjonspunktet \(\boldsymbol{r}\) være \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). I forskyvnings-tøyningsrelasjonen for node \(\alpha\) og frihetsgrad \(i\) legges følgende til de volumetriske tøyningskomponentene \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\):

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

For skjærkomponentene \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) brukes den ordinære \(\boldsymbol{B}\). Elementstivheten og den indre kraftvektoren sammenstilles med den resulterende B-bar-matrisen.

FrontISTR tilbyr denne formuleringen spesielt for 8-noders lineære heksaederelementer (element-ID 361, Elementnummereringssystem), og den kan brukes ved små deformasjoner samt med Total Lagrange- og Updated Lagrange-formuleringene.

F-bar-metoden¶

Ved endelig deformasjon virker volumendringen ikke-lineært gjennom deformasjonsgradienten \(\boldsymbol{F}\). F-bar-metoden [deSouzaNeto1996] utfører derfor en behandling mot volumlåsing tilsvarende B-bar-metoden på nivået til deformasjonsgradienten.

La volumforholdet til deformasjonsgradienten evaluert i elementsentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) være \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), og volumforholdet til deformasjonsgradienten i et integrasjonspunkt være \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformasjonsgradienten i integrasjonspunktet erstattes med

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Da blir \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), slik at volumforholdet i hele elementet samsvarer med verdien i elementsentrum. Den erstattede \(\bar{\boldsymbol{F}}\) brukes til spenningsberegning og konstruksjon av tøynings-forskyvningsmatrisen, og tangentmatrisen for elementstivheten sammenstilles med tilleggstermene som følger av denne erstatningen.

FrontISTR implementerer F-bar-metoden spesielt for 8-noders lineære heksaederelementer, og den kan brukes ved små deformasjoner og ved ikke-lineær geometri med Total Lagrange / Updated Lagrange.

Inkompatible elementer¶

Det 8-noders lineære heksaederelementet mangler de tøyningsmodusene som kreves for bøyning, og viser bøyningslåsing i problemer dominert av bøyning. Inkompatible elementer [Taylor1976] innfører ekstra forskyvningsmoder inne i elementet for å kompensere for denne mangelen.

I tillegg til elementets nodeforskyvninger \(\boldsymbol{u}^e\) innføres inkompatible modusfrihetsgrader \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) som bare finnes inne i elementet, med 3 retninger × 3 moder per element, og forskyvningsfeltet tilnærmes som

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

For naturlige koordinater \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) velges de inkompatible formfunksjonene som \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) og \(M_3 = 1 - \zeta^2\). De garanterer ikke kontinuitet over elementgrensene, men tilfører et internt rom som kan gjengi tøyningene for bøyningsmodene.

Elementstivheten sammenstilles først i blokkform for eksterne og interne frihetsgrader

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Etter sammenstillingen i denne formen utføres statisk kondensering, der de interne frihetsgradene elimineres med \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), slik at elementstivheten bare for de eksterne frihetsgradene blir

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

og sendes videre til den globale sammenstillingen.

FrontISTR implementerer det inkompatible elementet spesielt for det 8-noders lineære heksaederelementet (C3D8IC), og det kan brukes ved små deformasjoner samt med Total Lagrange- og Updated Lagrange-formuleringene.

U-P-blandingselementer¶

Mens B-bar- og F-bar-metodene korrigerer volumdelen innenfor et forskyvningsbasert rammeverk, bruker u-p-blandingselementet (U-P) en blandet formulering [Bathe1996] der trykket \(\lambda\) innføres som et ukjent felt uavhengig av forskyvningen. For tilnærmet inkompressible materialer, som gummilignende materialer med Poissons tall svært nær 0,5 eller metaller etter plastisk deformasjon, fører håndheving av konstant volum med forskyvningsfeltet alene til volumlåsing. Ved å behandle trykket som en uavhengig variabel reduseres denne begrensningen.

Spenningen deles i en deviatorisk komponent og et trykkbidrag som

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Her er \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) den deviatoriske elastisitetsmatrisen som fås ved å fjerne volumdelen proporsjonal med bulkmodulen \(K\) fra elastisitetsmatrisen. Trykket \(\lambda\) og den volumetriske tøyningen \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) er knyttet sammen ved begrensningen gjennom kompressibiliteten \(\alpha^{-1} = 1/K\):

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretisering med forskyvning \(\boldsymbol{u}\) og trykk \(\lambda\) som ukjente gir elementets koblede ligningssystem

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Her inneholder \(\mathbf{K}_{uu}\) det deviatoriske elastiske bidraget og, ved endelig deformasjon, geometrisk stivhet; \(\mathbf{K}_{up}\) kobler volumetrisk tøyning og trykk; og \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) er stabiliseringsleddet for trykket (\(\boldsymbol{N}_p\) er formfunksjonen for trykk). Siden trykkfrihetsgradene er interne i elementet,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

utføres statisk kondensering i denne formen, og den effektive stivheten bare for de eksterne (forskyvnings-)frihetsgradene sendes til den globale sammenstillingen.

FrontISTR implementerer U-P-elementet spesielt for det 8-noders lineære heksaederelementet, med én trykkfrihetsgrad per element (konstant i elementet). Det kan brukes ved små deformasjoner samt med Total Lagrange- og Updated Lagrange-formuleringene. I Updated Lagrange oppdateres den deviatoriske spenningen med en objektiv spenningsrate (Jaumann/Hughes-Winget-type), og trykket \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) påføres deretter med verdien som er oppnådd ved statisk kondensering.

Skallelementer¶

For tynnveggede plate- og skallstrukturer brukes skallelementer basert på Reissner-Mindlin-teori. Når tykkelsen reduseres, overvurderer lavordens forskyvningsbaserte plate-/skallelementer den tverrgående skjærtøyningen gjennom en mekanisme tilsvarende volumlåsing (skjærlåsing), slik at stivheten for bøyningsmoder øker uforholdsmessig. MITC-metoden (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] unngår dette ved å resample bare skjærtøyningskomponentene i forhåndsdefinerte bindingspunkter i elementet og interpolere de samplede verdiene tilbake over elementet.

Nodene i et MITC-skallelement ligger på midtflaten, og hver node har seks frihetsgrader: tre translasjonskomponenter og tre rotasjonskomponenter om midtflatens normal-koordinatsystem. Elementstivheten evalueres med tredimensjonal Gauss-integrasjon over midtflatens naturlige koordinater og tykkelsesretningen, og platetykkelsen \(h\) angis som en elementegenskap ved beregning av den konstitutive loven.

FrontISTR tilbyr MITC3 (element-ID 731), MITC4 (741) og MITC9 (743), som behandles med ett lag på midtflaten, samt lagdelte skallelementer MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 noder, 3 frihetsgrader per node) og MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 noder, 3 frihetsgrader per node), der nodene er arrangert i to lag gjennom tykkelsen. I de lagdelte skallelementene har nodene bare tre translasjonsfrihetsgrader, mens bøyningsmoder tilsvarende rotasjonsfrihetsgrader representeres av tolagsarrangementet.

Bjelkeelementer¶

Linjeelementer som dragere og rammestrukturer diskretiseres med bjelkeelementer. FrontISTR bruker en Timoshenko-bjelkeformulering som tar hensyn til skjærdeformasjon og beskriver både bøyning og skjær som funksjoner av translasjons- og rotasjonsfrihetsgrader.

Hver node i et bjelkeelement har seks frihetsgrader: tre translasjonskomponenter og tre rotasjonskomponenter om bjelkeaksen og tverraksene. Elementstivheten evalueres med endimensjonal numerisk integrasjon langs bjelkeaksen. Tverrsnittsarealet \(A\) og arealtreghetsmomentene \(I\) i bøynings- og torsjonsretning angis som tverrsnittsegenskaper for bjelken, og sammen med materialets Youngs modul \(E\) og skjærmodul \(G\) bestemmer de stivheten for strekk, bøyning, torsjon og skjær.

FrontISTR tilbyr et 2-noders rett bjelkeelement (element-ID 611) og et 4-noders tetraedrisk solid-bjelke-hybridelement representert med 3 noder (641, for blandede frihetsgrader).

Relaterte emner¶

Formulering av tredimensjonale solidelementer — Sammenligning med standardformuleringen
Elementnummereringssystem og formfunksjonsbibliotek — Elementtype-ID-er
Elementbibliotek (funksjoner) — Retningslinjer for valg av element