Gå til innhold

Formfunksjoner for tredimensjonale solidelementer

Dette kapitlet oppsummerer de naturlige koordinatsystemene og de eksplisitte formene til formfunksjonene \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), introdusert i Formfunksjoner og endelig element-approksimasjon, for de tredimensjonale solidelementene FrontISTR bruker i kontinuumsanalyse. De seks elementtypene er første-/andreordens tetraedere (341/342), første-/andreordens trekantprismer (351/352) og første-/andreordens heksaedere (361/362). Se Elementbibliotek i funksjonsreferansen for knutepunktsrekkefølge og flatenumre i HEC-MW-nettformatet.

Fremgangsmåten for å bygge opp elementintegrasjon fra disse formfunksjonene og Jacobideterminanten følger Numerisk integrasjon. B-bar-, F-bar- og inkompatible formuleringer for 361 samt formfunksjoner for bjelke- og skallelementer behandles i Avanserte elementformuleringer.

Naturlige koordinatsystemer og intern knutepunktsrekkefølge

Formfunksjonene defineres i de naturlige koordinatene \(\boldsymbol{r}\) for hvert element. Tredimensjonale solidelementer bruker følgende tre typer naturlige koordinatsystemer avhengig av elementformen.

  • Heksaedere (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedere (341/342): volumkoordinater \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), der \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) og \(L_i \ge 0\). Med \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) som uavhengige variabler bestemmes \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Trekantprismer (351/352): volumkoordinatene \((\xi, \eta)\) for grunntrekanten (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) kombineres med aksialkoordinaten \(\zeta \in [-1, 1]\) slik at \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Hjelpestørrelsen \(a = 1 - \xi - \eta\) brukes som den tredje volumkoordinaten på grunnflaten.

For førsteordenselementer er elementets knutepunktsnummerering den samme i HEC-MW-inndataformatet og det interne formatet. For andreordenselementer er konvensjonene for rekkefølgen av mellomknutepunktene på kantene forskjellige. FrontISTR godtar HEC-MW-formatet som inndata (hjørneknutepunktene listes rundt elementet, etterfulgt av mellomknutepunktene i kantrekkefølgen 1-2, 2-3, …), mens formfunksjonene i elementbiblioteket er implementert med en annen knutepunktsrekkefølge.

Forskjellen mellom de to formatene håndteres av hecmw2fstr_mesh_conv, som kalles umiddelbart etter innlesing av nettet og omordner knutepunktene for hvert element. Blant de tredimensjonale solidelementene konverteres følgende to typer.

Elementtype Konverteringstabell Beskrivelse
342 (andreordens tetraeder) Table342 Omordner de 10 knutepunktene til \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (andreordens trekantprisme) Table352 Omordner de 15 knutepunktene til \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Siden omordningen gjøres direkte i matrisen som lagrer elementkonnektiviteten, bruker alle påfølgende kall til elementbiblioteket FrontISTRs interne knutepunktsrekkefølge. For andreordens heksaederelement 362 finnes ingen konverteringstabell fordi rekkefølgen av mellomknutepunktene er den samme i HEC-MW-inndataformatet og FrontISTRs interne format. Ved resultatutskrift kalles den inverse konverteringen fstr2hecmw_mesh_conv for å gjenopprette HEC-MW-knutepunktsrekkefølgen før skriving, slik at brukeren bare trenger å forholde seg til HEC-MW-formatet både for inn- og utdata. Knutepunktsnumrene i formfunksjonene nedenfor følger det konverterte interne FrontISTR-formatet.

Formfunksjoner for førsteordenselementer

Formfunksjonene for førsteordens tetraederelement (341) er selve volumkoordinatene:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Formfunksjonene for førsteordens trekantprismeelement (351) er produkter av de lineære formfunksjonene på grunntrekanten (\(a, \xi, \eta\)) og de lineære formfunksjonene i aksial retning (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Formfunksjonene for førsteordens heksaederelement (361) er tensorprodukter av lineære formfunksjoner i de tre koordinatretningene:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Her er \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) verdiene til de naturlige koordinatene for knutepunkt \(\alpha\) (hver komponent er \(\pm 1\)).

Formfunksjoner for andreordenselementer

For andreordens tetraederelement (342) er formfunksjonene delt mellom fire hjørneknutepunkter og seks mellomknutepunkter på kantene:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Mellomknutepunktene 5–10 tilsvarer henholdsvis midtpunktene på kantene 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 og 3-4.

Andreordens trekantprismeelement (352) består av seks hjørneknutepunkter, seks mellomknutepunkter på kantene i trekantflatene og tre mellomknutepunkter på de aksiale kantene:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Mellomknutepunktene 7–9 tilsvarer kantmidtpunktene på den nederste trekanten (\(\zeta = -1\)), knutepunkt 10–12 kantmidtpunktene på den øvre trekanten (\(\zeta = +1\)), og knutepunkt 13–15 midtpunktene på de aksiale kantene.

Andreordens heksaederelement (362) er et 20-knuters element i Serendipity-familien. La de naturlige koordinatverdiene til knutepunkt \(\alpha\) være \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). For hjørneknutepunktene (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), der hver komponent er \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

For mellomknutepunktene på kantene (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), der én av de tre naturlige koordinatene er \(0\) og de to andre er \(\pm 1\)), er formfunksjonen for knutepunkter med \(\xi_\alpha = 0\) (kantretning langs \(\xi\)-aksen)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Mellomknutepunkter med kantretning langs \(\eta\)- eller \(\zeta\)-aksen gis analogt, med den tilsvarende naturlige koordinaten eliminert gjennom det kvadrerte leddet.

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status