Numerisk integrasjon¶

Elementets indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) og elementets stivhetsmatrise \(\boldsymbol{K}^e\), som ble utledet i Diskretisering av virtuelt indre arbeid og Virtuelt ytre arbeid og sammenstilling av den globale ligningen, har form av integraler over elementområdet \(\Omega^e\) eller \(\Omega^e_0\). FrontISTR evaluerer disse numerisk med Gauss-kvadratur.

Gauss-kvadratur og variabelskifte¶

Gauss-kvadratur approksimerer et integral over referanseområdet \(\Xi\) med en lineær kombinasjon av integrandverdiene i integrasjonspunktene \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) og vektene \(w_i\). Anvendelse på elementområdet \(\Omega^e\) innebærer et variabelskifte via avbildningen \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), slik at

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

der \(n_q\) er antall integrasjonspunkter og \(J_{\xi_i}\) er determinanten til transformasjons-Jacobianen. Referanseområdet \(\Xi\) defineres for hver elementtype (for et heksaeder er det \([-1,1]^3\); for trekanter, tetraedre og kiler brukes de tilsvarende referanseformene), og integrasjonspunktene \(\boldsymbol{\xi}_i\) og vektene \(w_i\) gis som numeriske tabeller. Flateintegraler behandles på samme måte ved å avbilde en elementflate fra et todimensjonalt referanseområde.

Representative antall integrasjonspunkter som brukes av FrontISTR, vises nedenfor (se Elementnummerering og formfunksjonsbibliotek for sammenhengen med elementtypene).

Elementtype	Kvadraturregel	Antall integrasjonspunkter
4-knuters tetraeder (`tet4n`)	1-punktsregel	1
10-knuters tetraeder (`tet10n`)	4-punktsregel	4
6-knuters trekantprisme (`prism6n`)	2-punktsregel	2
15-knuters trekantprisme (`prism15n`)	9-punktsregel	9
8-knuters heksaeder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-knuters heksaeder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-knuters firkant (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-knuters firkant (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-knuters trekant (`tri3n`)	1-punktsregel	1
6-knuters trekant (`tri6n`)	3-punktsregel	3

For heksaeder-, firkant- og linjeelementer brukes tensorprodukter av Gauss-Legendre-regelen i hver koordinatretning. Trekanter, tetraedre og trekantprismer bruker egne regler tilpasset simpleksgeometrier (punktplasseringer som integrerer polynomer eksakt over selve trekanten).

Anvendelse på elementintegrasjon¶

Ved elementintegrasjon brukes de naturlige koordinatene \(\boldsymbol{r}\) som koordinater i referanseområdet (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), og avbildningen til fysiske koordinater gis ved interpolasjon av knutepunktskoordinatene med formfunksjonene. Avhengig av valg av referansekonfigurasjon (Rammeverk for inkrementell analyse) brukes følgende formuleringer.

Total Lagrange-metoden (integrasjon over referansekonfigurasjonen \(\Omega^e_0\)): Avbildningen og Jacobianen er

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

og elementets indre kraft og stivhetsmatrise approksimeres som

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alle \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) evalueres i integrasjonspunktet \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange-metoden (integrasjon over den gjeldende konfigurasjonen \(\Omega^e\)): Avbildningen og Jacobianen er

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

brukes som approksimasjoner.

Den eneste forskjellen mellom de to formuleringene er om knutepunktskoordinatene som gis til avbildningen, er \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) eller \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrasjonspunktene, vektene og strukturen til løkken over integrasjonspunktene er felles.

Full integrasjon og redusert integrasjon¶

Integrasjon som bruker tilstrekkelig mange integrasjonspunkter til å integrere integrandens polynomgrad eksakt, kalles full integrasjon, mens integrasjon med ett nivå færre integrasjonspunkter kalles redusert integrasjon. Redusert integrasjon brukes for å redusere skjær- og volumlåsing, men krever håndtering av kunstige deformasjonsmoder som timeglassmoder. Antall integrasjonspunkter for hver elementtype og valget mellom full og redusert integrasjon behandles i Elementnummerering og formfunksjonsbibliotek og påfølgende avsnitt samt i Avanserte elementformuleringer.

Relaterte emner¶

Romderiverte av formfunksjoner — beregning av Jacobianen
Diskretisering av virtuelt indre arbeid — størrelser som evalueres ved numerisk integrasjon
Avanserte elementformuleringer — bruk av redusert integrasjon