Gå til innhold

Virtuelt arbeid fra ytre krefter og sammenstilling av de globale ligningene

I diskretisering av virtuelt arbeid fra indre krefter ble venstresiden i den svake formen redusert til elementets indre kraftvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metoden) eller \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metoden). I dette kapitlet innføres elementets knutepunktvektor for ytre kraft \(\boldsymbol{F}^e\) fra det virtuelle arbeidet til de ytre kreftene. Deretter anvendes sammenstilling, der elementenes knutepunktstørrelser ordnes og summeres etter globalt knutenummer. Til slutt oppnås det ikke-lineære ligningssystemet i knuteforskyvningene som løses i FrontISTRs ikke-lineære strukturanalyse.

Elementvis dekomponering av virtuelt arbeid fra ytre krefter

Høyresiden i prinsippet om virtuelt arbeid kan dekomponeres elementvis til virtuelt arbeid fra ytre krefter, bestående av volumkrefter og foreskrevne overflatetrekk på mekaniske randflater. For å skrive forskyvningsinterpolasjonen som ble innført i formfunksjoner og endelig-element-approksimasjon på matriseform, defineres \(\boldsymbol{N}_\alpha\) som en \(d \times d\)-blokk med formfunksjonen \(N_\alpha^e\) for knute \(\alpha\) på diagonalen, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) settes opp slik at \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Innsetting i uttrykket for virtuelt arbeid fra ytre krefter skrevet i referansekonfigurasjonen gir

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

der elementets knutepunktvektor for ytre kraft ordnes som \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Dermed reduseres det virtuelle arbeidet fra ytre krefter til samme form, «elementets knutepunktvektor × testfunksjon», som på siden for indre krefter. Skrives uttrykket i den aktuelle konfigurasjonen, fås samme form ved erstatningene \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) og \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\).

Sammenstilling av elementenes knutepunktstørrelser

Knutepunktstørrelsene \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) som er beregnet for hvert element, summeres inn i globale vektorer ordnet etter globalt knutenummer. La det globale knutenummeret som svarer til lokalt knutenummer \(\alpha\) i elementet \(\Omega^e\), være

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

En elementknutestørrelse er da identisk med den tilsvarende komponenten i den globale knutestørrelsen (for eksempel \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Siden en knute \(i_g\) vanligvis deles av flere elementer, defineres mengden av par \((e, \alpha)\) som har globalt knutenummer \(i_g\), som

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Når denne mengden brukes til å omskrive summen som \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), fås knutens indre kraft og den globale indre kraftvektoren over alle \(n_g\) knuter:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Her er \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) resultanten av de indre elementknutekreftene som virker i knute \(i_g\), og den er \(\boldsymbol{0}\) når ingen ytre kraft virker og likevekt er oppfylt. Den samme fremgangsmåten i UL-metoden gir \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); siden de numeriske verdiene oppfyller \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), brukes notasjonen \(\boldsymbol{Q}\) nedenfor unntatt der et skille er nødvendig. Den globale ytre kraftvektoren \(\boldsymbol{F}\) oppnås ved samme summering.

I implementasjonen konstrueres ikke mengden \(\mathcal{E}(i_g)\) eksplisitt. I stedet legges bidragene til de tilsvarende komponentene inne i elementløkken.

Initialiser global indre kraftvektor Q til 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (antall elementer)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Den globale ytre kraftvektoren \(\boldsymbol{F}\) konstrueres med samme fremgangsmåte. Operasjonen der elementenes knutepunktstørrelser legges til og lagres i vektorer og matriser nummerert etter globalt knutenummer, kalles sammenstilling. For andreordens tensorer knyttet til to knutenumre, slik som stivhetsmatriser, fås samme type sammenstilling ved å bruke mengden \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (se tangentstivhetsmatrise for den konkrete konstruksjonen).

Ikke-lineære ligninger som skal løses

Når de sammenstilte indre og ytre kreftene settes inn i prinsippet om virtuelt arbeid, og det brukes at dette gjelder for enhver testfunksjon \(\delta\boldsymbol{u}^n\) som oppfyller de geometriske randbetingelsene, fås

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

I sammenheng med inkrementell analyse (rammeverk for inkrementell analyse) gjeninnføres tidsindeksen \(_{n+1}\), og den hevede indeksen \(^n\) som angir den globale knutevektoren, utelates. Ligningen som skal løses blir da

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Dermed reduseres det diskretiserte randverdiproblemet med å finne knuteforskyvningen \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ved tidspunkt \(t_{n+1}\) til å løse denne ikke-lineære ligningen i forskyvning sammen med de geometriske randbetingelsene. Linearisering av ligningen og konstruksjon av tangentstivhetsmatrisen er beskrevet i tangentstivhetsmatrise, og den iterative løsningsmetoden i Newton-Raphson-metoden.

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status