Gå til innhold

Diskretisering av virtuelt indre arbeid

Ligningen for virtuelt arbeid ved tidspunkt \(t + \Delta t\), som ble vist i Rammeverk for inkrementell analyse, deles i to formuleringer, Updated Lagrange og Total Lagrange, avhengig av valg av referansekonfigurasjon. I dette kapitlet brukes endelig-element-approksimasjonen som ble innført i Formfunksjoner og endelig-element-approksimasjon og Romlige deriverte av formfunksjoner, til å diskretisere det virtuelle indre arbeidet romlig for begge formuleringene og utlede elementets indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) og \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

For element \(e\) betegnes forskyvningen til de konstituerende nodene \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) med \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), og elementets nodeforskyvningsvektor ordnes som \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Den virtuelle forskyvningen \(\delta \boldsymbol{u}^e\) defineres i samme rekkefølge. Forskyvningen inne i elementet interpoleres med formfunksjonene som \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Virtuelt indre arbeid i Updated Lagrange-formuleringen

I Updated Lagrange-formuleringen brukes den aktuelle konfigurasjonen \({}^{t}\Omega\) ved tidspunkt \(t\) som referansekonfigurasjon, og det virtuelle indre arbeidet uttrykkes ved Cauchy-spenningen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den lineære delen av Almansi-tøyningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) som

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Hver komponent av \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av de deriverte av formfunksjonene med hensyn på koordinatene \(\boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfigurasjonen, \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\), og de virtuelle nodeforskyvningene \(\delta u^e_{i\alpha}\). Med Voigt-notasjon kan dette samles som

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Nodeblokken \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) er en \(6 \times 3\)-matrise der \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) er ordnet etter Voigt-konvensjonen, og \(\boldsymbol{B}_L\) er tøynings-forskyvningsmatrisen for UL-formuleringen. Når dette settes inn i det virtuelle indre arbeidet og \(\delta \boldsymbol{u}^e\) skilles ut, fås

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Nodeblokken \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) i \(\boldsymbol{q}^e\) er den indre kraften som virker på den konstituerende noden \(\alpha\) i element \(\Omega^e\).

Virtuelt indre arbeid i Total Lagrange-formuleringen

I Total Lagrange-formuleringen brukes referansekonfigurasjonen \(\Omega_0\) som referanse, og det virtuelle indre arbeidet uttrykkes ved den andre Piola-Kirchhoff-spenningen \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyningen \(\boldsymbol{E}\) som

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variasjonen \(\delta \boldsymbol{E}\) deles i et ledd som er lineært i den virtuelle forskyvningen, og et ikke-lineært ledd som inneholder produkter med den aktuelle forskyvningsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Det lineære leddet kan skrives ved å anvende samme ordningsregel som i UL-formuleringen på \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), med nodeblokken \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Dette kan skrives slik (på grunn av den ulike referansekonfigurasjonen erstattes bare \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) med \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) i komponentene, mens samme symbol brukes som i UL-formuleringen). Det ikke-lineære leddet uttrykkes med nodeblokken \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), der produktene av den aktuelle forskyvningsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\) og \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ordnes etter Voigt-konvensjonen:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Dermed er \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), og \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) er tøynings-forskyvningsmatrisen for TL-formuleringen. Når dette settes inn i det virtuelle indre arbeidet, fås

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Nodeblokken \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) er den indre kraften som virker på den konstituerende noden \(\alpha\) i element \(\Omega^e_0\).

Samsvar mellom UL/TL og beregningsflyt

Elementenes indre kraftvektorer i Updated Lagrange- og Total Lagrange-formuleringen svarer til hverandre som følger.

Element Updated Lagrange-formulering Total Lagrange-formulering
Referansekonfigurasjon Aktuell konfigurasjon \({}^{t}\Omega^e\) Referansekonfigurasjon \(\Omega^e_0\)
Spenningstensor Cauchy-spenning \(\boldsymbol{\sigma}\) Andre PK-spenning \(\boldsymbol{S}\)
Tøyningsvariasjon \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matrise \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elementets indre kraft \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Begge kan behandles med samme prosedyre: «bygge \(\boldsymbol{B}_L\) fra de romlige derivertene av formfunksjonene», «i TL-formuleringen bygge \(\boldsymbol{B}_{NL}\) fra den aktuelle forskyvningsgradienten og legge den til», «oppdatere spenningen (\(\boldsymbol{\sigma}\) eller \(\boldsymbol{S}\)) i henhold til den konstitutive loven» og «numerisk integrere \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) eller \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) over elementområdet ved integrasjonspunktene (Numerisk integrasjon)». Bortsett fra bytte av referansekonfigurasjon (nodekoordinater og oppbygging av \(\boldsymbol{B}\)-matrisen) og utskifting av spenningstensoren er behandlingen felles, og FrontISTR implementerer derfor beregningen av indre krefter for begge formuleringene i felles subrutiner. Sammenstilling av elementenes indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) og \(\boldsymbol{Q}^e\) til den globale indre kraftvektoren behandles i Virtuelt ytre arbeid og sammenstilling av de globale ligningene.

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status