Gå til innhold

Romlige deriverte av formfunksjoner

Formfunksjonene \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) som ble introdusert i Formfunksjoner og endelig-elementapproksimasjon, er gitt som funksjoner av de naturlige koordinatene \(\boldsymbol{r}\), som er elementets lokale koordinater. På den annen side inneholder integrandene i den svake formen, gjennom tøynings-forskyvningsrelasjonen, partiellderiverte med hensyn på de fysiske koordinatene (referansekonfigurasjonen \(\boldsymbol{X}\) eller den aktuelle konfigurasjonen \(\boldsymbol{x}\)), nemlig \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) eller \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Denne delen organiserer fremgangsmåten for å beregne disse romlige derivertene av formfunksjonene fra elementets nodekoordinater og deriverte med hensyn på de naturlige koordinatene.

Uttrykk for romlige deriverte ved kjerneregelen

Ved å anvende kjerneregelen på interpolasjonsformelen \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (forrige del) og bruke Jacobi-matrisen \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) for avbildningen fra naturlige koordinater til fysiske koordinater, fås

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Her er \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matriser der rad \(\alpha\) representerer vektoren av partiellderiverte for node \(\alpha\); hver er en \(n_e \times 3\)-matrise.

Oppbygging av Jacobi-matrisen

Derivasjon av interpolasjonsformelen med hensyn på \(\boldsymbol{r}\) gir

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Dermed kan Jacobi-matrisen konstrueres direkte fra elementets nodekoordinater \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) og derivertene med hensyn på naturlige koordinater \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivertene med hensyn på naturlige koordinater bestemmes av formfunksjonenes funksjonelle form og er implementert på forhånd for hver elementtype.

Determinanten til Jacobi-matrisen \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) brukes i numerisk integrasjon til å transformere volumelementet som \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Hvis determinanten blir \(0\), er elementet degenerert og beregningen mislykkes.

Beregningsflyt

Fra utledningen ovenfor kan beregningen av de romlige derivertene \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) deles inn i følgende fire trinn.

  1. Beregn deriverte med hensyn på naturlige koordinater: Bruk elementtypen og de naturlige koordinatene \(\boldsymbol{r}\) til evalueringspunktet som inndata, og beregn matrisen av naturlige koordinatderiverte \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Fordi formfunksjonenes funksjonelle form varierer med elementtypen, forgrenes behandlingen etter elementtype.
  2. Beregn Jacobi-matrisen: Fra elementets nodekoordinater \(\boldsymbol{X}^e\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), sett sammen Jacobi-matrisen \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ved hjelp av ligningen i forrige del.
  3. Beregn invers matrise og determinant: Beregn inversen \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) og determinanten til Jacobi-matrisen. Determinanten brukes i vektingen ved numerisk integrasjon.
  4. Beregn romlige deriverte: Fra \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) og \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) oppnås de romlige derivertene \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) som produktet av disse.

Disse fire trinnene forgrenes etter elementtype og romdimensjon (to eller tre dimensjoner), men den overordnede flyten er felles.

Felles behandling av referanse- og aktuell konfigurasjon

Fremgangsmåten ovenfor kan også anvendes ved ganske enkelt å erstatte \(\boldsymbol{X}^e\) med de aktuelle nodekoordinatene \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) for å oppnå de romlige derivertene \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfigurasjonen. Dermed kan samme fremgangsmåte deles mellom Total Lagrangian- og Updated Lagrangian-formuleringene ved bare å bytte inndata for nodekoordinatene.

Relaterte emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status