Formfunksjoner og endelig-element-approksimasjon¶

For å kunne behandle den svake formen av prinsippet om virtuelt arbeid numerisk deles legemets område inn i et endelig antall elementer, og materialpunktets koordinater, forskyvning og testfunksjon inne i hvert element interpoleres fra knuteverdier og formfunksjoner. Romlige deriverte av formfunksjonene behandles i romlige deriverte av formfunksjoner, diskretisering av den svake formen i diskretisering av virtuelt arbeid fra indre krefter, og de konkrete formene til formfunksjonene for hver elementtype i elementnummereringssystem og formfunksjonsbibliotek og de påfølgende avsnittene.

Områdeinndeling og elementvise summer av integraler¶

Området \(\Omega_0\) i referansekonfigurasjonen og området \(\Omega\) i den aktuelle konfigurasjonen approksimeres som foreninger av henholdsvis elementene \(\Omega^e_0\) og \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) er elementnummeret, og elementgrensene deles mellom naboelementer.) Dermed dekomponeres volum- og overflateintegralene i prinsippet om virtuelt arbeid til summer av integraler over de enkelte elementene:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Det samme gjelder for den aktuelle konfigurasjonen ved å erstatte \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) og \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Heretter reduseres evalueringen av den svake formen til konstruksjon av integraler element for element.

Interpolasjon med knuteverdier og formfunksjoner (isoparametriske elementer)¶

Hvert element \(\Omega^e_0\) har \(n_e\) knuter. La koordinatene i referansekonfigurasjonen og knuteforskyvningene for elementknute \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) være \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Elementknutevektorene \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) og \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) dannes ved å ordne disse verdiene. De består av komponentene for knutene som utgjør element \(e\), hentet ut fra de globale knutevektorene \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) er totalt antall knuter).

Med naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\), som er lokale koordinater inne i elementet, som parametere brukes formfunksjonene \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) til å interpolere materialkoordinatene, forskyvningen og testfunksjonen inne i elementet med de samme formfunksjonene (isoparametrisk element og Galerkin-metoden):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Formfunksjonene konstrueres slik at de oppfyller de følgende to egenskapene, og elementgeometrien velges slik at avbildningen \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) fra naturlige koordinater til materialkoordinater er én-til-én inne i elementet:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) er punktet i naturlige koordinater som svarer til knute \(\alpha\), og \(\delta_{\alpha\beta}\) er Kronecker-deltaet.) Den første ligningen sikrer reproduksjon av stivlegemetranslasjon, og den andre sikrer at den interpolerte verdien sammenfaller med knuteverdien i hver knute. De konkrete formene til \(n_e\) og \(N_\alpha^e\) for hver elementtype er gitt i elementnummereringssystem og formfunksjonsbibliotek og de påfølgende avsnittene. For å unngå tungvint notasjon representeres avhengigheten av elementtypen med den elementvise hevede indeksen \(e\).

Med interpolasjonsreglene ovenfor kan integranden i den svake formen uttrykkes utelukkende ved elementknuteverdiene \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) og \(N_\alpha^e\). Tøyning utledes derimot fra den interpolerte forskyvningen og tøynings–forskyvningsrelasjonen, mens spenning utledes fra denne tøyningen og materialets konstitutive lov; disse størrelsene interpoleres ikke direkte fra knuteverdier. De evalueres i integrasjonspunktene inne i elementet (numerisk integrasjon).

Ordensregel for globale knutevektorer¶

Fysiske størrelser tilordnet knutene ordnes i den globale knutevektoren i stigende rekkefølge etter knutenummer → frihetsgrad. Hvis frihetsgradskomponent \(i\) i knute \(\alpha\) betegnes med \(u_{i\alpha}\), blir dette i henholdsvis tre dimensjoner (\(i=1,2,3\)) og to dimensjoner (\(i=1,2\))

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinatene \(\boldsymbol{X}^n\) og testfunksjonen \(\delta\boldsymbol{u}^n\) følger samme rekkefølge. Heretter skrives utledninger på matrise- og vektorform med det tredimensjonale tilfellet som representativt.

Relaterte emner¶

Prinsippet om virtuelt arbeid — Den svake formen som skal diskretiseres
Romlige deriverte av formfunksjoner — Forberedelse av Jacobianen og B-matrisen
Elementnummereringssystem og formfunksjonsbibliotek — Formfunksjoner for hver elementtype