Kryp¶

Dette kapitlet beskriver konstitutivloven for kryp som brukes i FrontISTR. Se funksjonsdelen 03_material for detaljer om valg og inndataangivelse.

Krypfenomenet og additiv tøyningsdekomponering¶

Tidsavhengig forskyvning under konstant spenning er et fenomen som kalles «kryp».

Den viskoelastiske oppførselen som er beskrevet ovenfor, kan også betraktes som en type lineært kryp. Her beskrives flere typer ikke-lineært kryp. En vanlig fremgangsmåte er å formulere konstitutivrelasjonen ved å legge denne oppførselen til tøyningen som oppstår momentant, og å definere tøyningen som akkumuleres mens en gitt konstant last virker, som kryptøyningen \(\varepsilon^c\). En konstitutivrelasjon som tar hensyn til kryp, uttrykkes vanligvis ved hjelp av kryptøyningshastigheten \(\dot{\varepsilon}^c\), definert som en funksjon av spenning og total kryptøyning.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Hvis tøyningen som oppstår momentant, er den elastiske tøyningen \(\varepsilon^e\), uttrykkes den totale tøyningen som følgende sum, der kryptøyningen inngår.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

der

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) er elastisitetstensoren).

Nortons lov¶

Som en konkret konstitutivlov for kryp bruker FrontISTR følgende Norton-modell. I denne konstitutivloven uttrykkes den ekvivalente kryptøyningshastigheten \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) som en funksjon av von Mises-spenningen \(q\) og tiden \(t\) som følger.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Her er \(A\), \(m\) og \(n\) materialkonstanter.

Tidsintegrasjon og spenningsoppdatering¶

Som for plastiske materialer må det angis en numerisk tidsintegrasjonsmetode for en konstitutivlov som viser kryp. Den konstitutive relasjonen når kryp tas i betraktning, er

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

der \(\beta_{n+\theta}\) er

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Kryptøyningsinkrementet \(\Delta \varepsilon^c\) defineres deretter ved følgende forenklede ikke-lineære ligning:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

som settes lik null.

I Newton-Raphson-iterasjonen brukes \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) som startspenning, og med tøyningsinkrementet beregnet med den endelige elementmetoden gis den iterative løsningen og inkrementet ved

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

der

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

der Når det itereres til residualen \(R\) blir \(\mathbf{0}\), brukes spenningen \(\sigma_{n+1}\) og tangentmodulen

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

brukes.

Relaterte emner¶

Viskoelastisitet — viskoelastisk oppførsel som tilsvarer lineært kryp
Tangentstivhetsmatrise — tangentstivhet for inkrementell analyse med kryp
Materialdata (funksjoner) — parameterangivelse for Norton-modellen