Elastoplastisitet¶

Dette kapitlet beskriver rammeverket for den elastoplastiske konstitutive loven som brukes av FrontISTR. Se 03_material i funksjonsdelen for detaljer om valg og inndataspesifikasjoner.

Fenomen (plastisk deformasjon)¶

TBD (skal skrives i neste fase).

Rammeverk for konstitutiv lov¶

FrontISTR bruker en elastoplastisk konstitutiv ligning basert på en assosiert flyteregel. Den konstitutive ligningen uttrykker forholdet mellom Jaumann-raten til Kirchhoff-spenningen og deformasjonshastighetstensoren, og deformasjonsanalysen bruker Updated Lagrange-formuleringen.

Anta at flytebetingelsen for et elastoplastisk materiale er gitt som følger.

Innledende flytebetingelse:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Etterfølgende flytebetingelse:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

der

\(F\): flytefunksjon
\(\sigma_{y_0}\): innledende flytespenning
\(\sigma_y\): etterfølgende flytespenning
\(\sigma\): spenningstensor
\(e\): infinitesimal tøyningstensor
\(e^p\): plastisk tøyningstensor
\(\overline{e}^p\): ekvivalent plastisk tøyning

Relasjonen mellom flytespenning og ekvivalent plastisk tøyning antas å sammenfalle med relasjonen mellom spenning og plastisk tøyning i en enaksial tilstand.

Relasjon mellom spenning og plastisk tøyning i en enaksial tilstand

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

der \(H'\) er tøyningsherdingsmodulen.

Relasjon mellom ekvivalentspenning og ekvivalent plastisk tøyning

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Generelt er den etterfølgende flytefunksjonen en funksjon av temperatur og plastisk tøyningsarbeid, men for enkelhets skyld antas den her bare å være en funksjon av den ekvivalente plastiske tøyningen \(\overline{e}^p\). Under utviklingen av plastisk deformasjon må \(F = 0\) fortsatt være oppfylt, og derfor må følgende ligning være oppfylt.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Her betegner \(\dot{F}\) den tidsderiverte av \(F\). I det følgende betegnes den tidsderiverte av en størrelse \(A\) med \(\dot{A}\).

Anta at det finnes et plastisk potensial \(\Theta\), og uttrykk den plastiske tøyningsraten med følgende ligning.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Her er \(\dot{\lambda}\) en koeffisient.

Ved videre å anta at det plastiske potensialet \(\Theta\) er lik flytefunksjonen \(F\), brukes følgende assosierte flyteregel.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ved å sette denne ligningen inn i konsistensbetingelsen fås følgende ligning.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Her er \(D\) elastisitetsmatrisen, og

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Den elastoplastiske spennings-tøyningsrelasjonen kan skrives som følger.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Når flytefunksjonen \(F\) for det elastoplastiske materialet er kjent, fås den konstitutive ligningen fra dette uttrykket.

Flytefunksjoner¶

De elastoplastiske flytefunksjonene som brukes av FrontISTR, er oppført nedenfor.

Von Mises-flytefunksjon¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Her er \(J_2\) den andre invarianten til den deviatoriske spenningstensoren.

Mohr-Coulomb-flytefunksjon¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Her er \(\sigma_1, \sigma_3\) henholdsvis maksimal og minimal hovedspenning, \(c\) er kohesjonen, og \(\phi\) er den indre friksjonsvinkelen.

Drucker-Prager-flytefunksjon¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Her beregnes materialkonstantene \(\alpha\) og \(\sigma_y\) fra materialets kohesjon og friksjonsvinkel som følger.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Relaterte emner¶

Lineær elastisitet — Elastisk respons (den elastiske delen av elastoplastisitet)
Tangentstivhetsmatrise — Tangentstivhet for inkrementell analyse som inkluderer materialikke-linearitet
Materialdata (funksjoner) — Alternativer og valg av flytefunksjoner og herdingslover