Hyperelastisitet¶

Dette kapitlet omhandler de hyperelastiske konstitutive lovene som støttes av FrontISTR. Se funksjonsdelen 03_material for detaljer om valg av modell og inndataspesifikasjoner.

Fenomen (reversibel respons ved store deformasjoner)¶

TBD (skal utvikles til full tekst i neste fase).

Konstitutivt rammeverk¶

For et isotropt hyperelastisk materiale oppnås den elastiske potensielle energien fra en isotrop respons fra den opprinnelige spenningsfrie tilstanden, og kan uttrykkes som en funksjon av hovedinvariantene \((I_1, I_2, I_3)\) til høyre Cauchy-Green-deformasjonstensor \(C\), eller av hovedinvariantene \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) til deformasjonstensoren der volumendringen er fjernet, det vil si som \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) eller \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Den konstitutive ligningen for et hyperelastisk materiale defineres av forholdet mellom andre Piola-Kirchhoff-spenning og Green-Lagrange-tøyning, og Total Lagrange-metoden brukes i deformasjonsanalysen.

Når den elastiske potensielle energien \(W\) er kjent, kan andre Piola-Kirchhoff-spenning og spennings-tøyningsrelasjonen beregnes som følger.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

De elastiske potensielle energiene \(W\) for hyperelastiske modeller som brukes i FrontISTR, er oppført nedenfor.

Neo-Hookean hyperelastisk modell¶

Den hyperelastiske Neo-Hookean-modellen utvider en isotrop lineær lov (Hookes lov) slik at den kan brukes på problemer med store deformasjoner. Det elastiske potensialet er som følger.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Her er \(C_{10}\) og \(D\) materialkonstanter.

Mooney-Rivlin hyperelastisk modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Her er \(C_{10}\), \(C_{01}\) og \(D\) materialkonstanter.

Mooney-Rivlin anisotrop hyperelastisk modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Her er \(C_{10}\), \(C_{01}\) og \(D\) materialkonstanter som er felles med den isotrope modellen, mens \(C_{42}\) og \(C_{43}\) er materialkonstanter som er spesifikke for anisotropien.

Arruda-Boyce hyperelastisk modell¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Her er \(\mu_0\), \(\lambda_m\) og \(D\) materialkonstanter.

Relaterte emner¶

Lineær elastisitet — Elastisk respons ved små deformasjoner
Elastoplastisitet — Konstitutive lover som inkluderer irreversibel deformasjon
Materialdata (funksjoner) — Modellalternativer og valg