Lineær elastisitet¶

Dette kapitlet beskriver konstitutivloven (Hookes lov) for lineærelastiske materialer. Se funksjonsdelen 03_material for detaljer om valg og inndataangivelse.

Fenomenet (lineærelastisk respons)¶

Et lineærelastisk legeme er et materiale som, i et område der tøyningen under last er tilstrekkelig liten, har en lineær sammenheng mellom spenning og tøyning og viser en reversibel, historie-uavhengig respons der all tøyning går tilbake til utgangstilstanden ved avlasting. I motsetning til plastisitet og kryp har det ingen interne variabler som beskriver tilstanden (som plastisk tøyning eller viskøs tøyning), og spenningen bestemmes entydig bare av den gjeldende tøyningen.

I smådeformasjonsområdet brukes Cauchy-spenningen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den infinitesimale tøyningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\); i området for endelig deformasjon (problemer med store rotasjoner, men der selve tøyningen er liten) brukes den andre Piola-Kirchhoff-spenningen \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyningen \(\boldsymbol{E}\) (St. Venant-Kirchhoff-materiale).

Konstitutivlov¶

Isotropt lineærelastisk materiale¶

I smådeformasjonsområdet uttrykkes den isotrope Hookes lov ved hjelp av Lamé-konstantene \(\lambda, \mu\) som

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

I komponentform

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

og dobbel kontraksjon med tøyningen gir \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé-konstantene er knyttet til Youngs modul \(E\) og Poissons tall \(\nu\) som følger:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

I Voigt-notasjon skrives sammenhengen mellom tøyningsvektoren \(\hat{\varepsilon}\) og spenningsvektoren \(\hat{\sigma}\) som \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), og den tredimensjonale materialmatrisen \(D\) er

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Denne matriseformen brukes i implementasjonen.

Ortotropt lineærelastisk materiale¶

For materialer der de elastiske konstantene varierer med hovedakseretningen, brukes en ortotrop modell med ni uavhengige konstanter: Youngs moduler i hovedakseretningene \(E_1, E_2, E_3\), Poissons tall mellom hovedaksene \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) og skjærmodulene \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Se standardreferanser for den eksplisitte formen til \(D\)-matrisen.

Området for endelig deformasjon: St. Venant-Kirchhoff-materiale¶

For problemer med store rotasjoner, men der selve tøyningen er liten, brukes St. Venant-Kirchhoff-materialet som en lineærelastisk lov mellom den andre Piola-Kirchhoff-spenningen \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyningen \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definisjonene av Lamé-konstantene \(\lambda, \mu\) er de samme som i smådeformasjonstilfellet. Merk imidlertid at dette er en annen konstitutivlov enn Hookes lov for små deformasjoner fordi definisjonene av spenning-tøyningsparet er forskjellige.

Hypoelastisk materiale¶

I Updated Lagrange-metoden brukes et hypoelastisk materiale med den lineærelastiske loven mellom Jaumann-hastigheten til den relative Kirchhoff-spenningstensoren \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) og deformasjonshastighetstensoren \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Også her er definisjonen av \(\boldsymbol{C}\) ved hjelp av Lamé-konstantene den samme som ovenfor, men dette er en annen konstitutivlov fordi spenning-tøyningsparet er forskjellig. Se tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex for detaljer om hvordan \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) oppdateres gjennom tidsintegrasjonen (forover Euler-integrasjon og sentraldifferanseapproksimasjon).

Reduksjon for todimensjonal analyse og skallelementer¶

Plan spenning (\(\sigma_{33} = 0\))¶

For plan spenning, som representerer belastning av tynne plater og skall, antas \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), og en \(D\)-matrise der tøyningskomponenten utenfor planet \(\varepsilon_{33}\) er eliminert algebraisk, brukes:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plan tøyning (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

For plan tøyning, som representerer tverrsnittet av en lang konstruksjon som er fastholdt i tykkelsesretningen, antas \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksesymmetri¶

I aksesymmetrisk analyse, som behandler problemer som er uniforme i \(\theta\)-retningen i sylinderkoordinater \((r, \theta, z)\), beholdes de fire komponentene \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) og \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), og

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

fås.

Skallelementer (plan spenning + tverrskjær)¶

For skallelementer behandles spenningene i planet som plan spenning, og for tverrskjærtøyningskomponentene \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) brukes \(\kappa\, G\) med skjærkorreksjonsfaktoren \(\kappa\) (vanligvis \(\kappa = 5/6\)). Se Avanserte elementformuleringer for den konkrete formuleringen for hvert element. Spesifikasjonen i funksjonsdelen 03_material om at «skallelementer bare støtter lineær elastisitet», bygger på denne forenklingen der tilstanden i planet behandles som plan spenning.

Temperaturavhengighet¶

Youngs modul \(E\), Poissons tall \(\nu\) og den lineære varmeutvidelseskoeffisienten \(\alpha\) angis vanligvis som funksjoner av temperaturen \(T\). I FrontISTR angis verdier for en endelig rekke temperaturpunkter \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), og temperaturen \(T\) under beregningen evalueres ved lineær interpolasjon mellom nabopunktene. For temperaturer utenfor området (\(T < T_1\) eller \(T > T_n\)) brukes verdien ved nærmeste endepunkt, \(T_1\) eller \(T_n\), til ekstrapolasjon (konstant ekstrapolasjon).

Se Termiske egenskaper for temperaturavhengigheten til termiske og varmeledende egenskaper (tetthet, spesifikk varmekapasitet og varmeledningsevne). Interpolasjonsreglene er de samme for disse egenskapene.

Relaterte emner¶

Tensornotasjon og matematisk grunnlag — konvensjoner for Voigt-notasjon og rollen til materialmatrisen \(D\)
Bevegelse, deformasjon og tøyning — generell behandling av deformasjonsgradienten og tøyningstensoren
Hyperelastisitet — utvidelse til reversibel respons med stor tøyning
Elastoplastisitet — hypoelastiske og plastiske modeller med plastisk tøyning
Termiske egenskaper — egenskaper som brukes ved varmeledning og kobling mot termisk spenning
Materialdata (funksjoner) — modellalternativer og valg