Gå til innhold

Lineær elastisk statisk analyse (introduksjon)

Denne delen presenterer formuleringen av elastisk statisk analyse basert på teorien for infinitesimale deformasjoner. Det antas lineær elastisitet for spennings-tøyningsrelasjonen. Dette kapitlet er ment som en introduksjon til den overordnede strukturen i strukturanalyse med endelig-elementmetoden og er organisert som et selvstendig kapittel.

For den generelle teorien for prinsippet om virtuelt arbeid (formulering i aktuell konfigurasjon, formulering i referansekonfigurasjon og reduksjon til infinitesimal deformasjon), se Prinsippet om virtuelt arbeid; for detaljer om den lineærelastiske konstitutive loven, se Lineær elastisitet; for konvensjoner for tensor- og Voigt-notasjon, se Tensornotasjon og matematisk grunnlag; for den generelle formuleringen av endelig deformasjon, se Bevegelse, deformasjon og tøyning; og for løsningsmetoder for ikke-lineære problemer, se Tangentstivhetsmatrise.

Grunnligninger

Under antakelsene om infinitesimal deformasjon og lineær elastisitet består randverdiproblemet i faststoffmekanikk av likevektsligningen, mekaniske randbetingelser og geometriske randbetingelser (essensielle randbetingelser) (se figur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Her er \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spenningen, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) volumkraften per volumenhet, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) den foreskrevne overflatetraksjonen, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) den foreskrevne forskyvningen, og \(S_t, S_u\) er henholdsvis den mekaniske og geometriske randen.

Randverdiproblem i faststoffmekanikk (problem med infinitesimal deformasjon)

Figur 2.1.1 Randverdiproblem i faststoffmekanikk (problem med infinitesimal deformasjon)

Ved å bruke den symmetriske gradientoperatoren er tøynings-forskyvningsrelasjonen

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Den lineærelastiske konstitutive ligningen er

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

der \(\boldsymbol{C}\) er elastisitetstensoren av fjerde orden.

Prinsippet om virtuelt arbeid

De generelle formene av prinsippet om virtuelt arbeid (formulering i aktuell konfigurasjon, formulering i referansekonfigurasjon og reduksjon til infinitesimal deformasjon) er oppsummert i Prinsippet om virtuelt arbeid. Under antakelsene om infinitesimal deformasjon og lineær elastisitet er den svake formen

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ved å sette inn den konstitutive ligningen \eqref{eq:2.1.5} og skrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notasjon, fås formen som brukes direkte til diskretisering:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

oppnås, der \(D\) er den elastiske matrisen definert i Lineær elastisitet. Ligningene \eqref{eq:2.1.10} og \eqref{eq:2.1.7} utgjør prinsippet om virtuelt arbeid som diskretiseres nedenfor.

Diskretisering og sammenstilling av den globale ligningen

Diskretisering av prinsippet om virtuelt arbeid i ligning \( \eqref{eq:2.1.10} \) over de endelige elementene gir

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

For hvert element interpoleres forskyvningsfeltet ved hjelp av forskyvningene til nodene som utgjør elementet, som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tøyningen gis deretter ved hjelp av ligning \(\eqref{eq:2.1.4}\) som følger.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Ved å sette ligningene \(\eqref{eq:2.1.12}\) og \(\eqref{eq:2.1.13}\) inn i ligning \(\eqref{eq:2.1.11}\) fås

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ligning \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan skrives som

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Her, kan komponentene i matrisen og vektoren definert av ligningene \(\eqref{eq:2.1.16}\) og \(\eqref{eq:2.1.17}\) beregnes for hvert endelig element og settes sammen ved superposisjon.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Siden ligning \(\eqref{eq:2.1.15}\) gjelder for en vilkårlig virtuell forskyvning \(\delta \boldsymbol{U}\), fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Samtidig uttrykkes forskyvningsrandbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.3}\) som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Ved å løse ligning \(\eqref{eq:2.1.18}\) under restriksjonsbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.19}\), kan nodeforskyvningen \(\boldsymbol{U}\) bestemmes.

Se også

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status