Analisis respons frekuensi¶

Perumusan masalah¶

Analisis respons frekuensi menilai amplitud dan fasa respons keadaan mantap sistem dalam domain frekuensi apabila daya luaran berubah secara harmonik terhadap masa. Oleh sebab persamaan gerakan menggunakan rangka kerja yang berbeza dengan dan tanpa redaman, bab ini mula-mula memperoleh mod semula jadi daripada getaran bebas tanpa redaman, kemudian menggunakannya sebagai asas modal untuk mengembangkan respons harmonik dengan redaman.

Getaran bebas tanpa redaman dan mod semula jadi¶

Apabila redaman diabaikan, persamaan gerakan adalah seperti berikut.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Dengan mengembangkannya mengikut setiap mod semula jadi,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Menggantikan ini ke dalam Pers. \(\eqref{eq:2.6.1}\) memberikan

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ini menghasilkan masalah nilai eigen teritlak. Kaedah penyelesaian berangkanya (lelaran songsang dengan anjakan dan kaedah Lanczos) diterangkan dalam Analisis modal. Bahagian ini merumuskan sifat frekuensi semula jadi dan mod semula jadi yang diperoleh, yang digunakan dalam pengembangan respons harmonik seterusnya.

Kerealan frekuensi semula jadi¶

Frekuensi semula jadi boleh dibuktikan sebagai nyata seperti berikut. Ambil \(\omega_j^2 = \lambda_j\); dengan mengambil konjugat kompleks Pers. \(\eqref{eq:2.6.3}\), Pers. \(\eqref{eq:2.6.4}\) diperoleh.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Mendarab dengan \(\overline{U}_J^T\) memberikan

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Daripada Pers. \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Oleh sebab matriks jisim adalah simetri positif tentu, bagi vektor eigen bukan sifar

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Oleh itu,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

dan maka \(\omega_j^2 = \lambda_j\) adalah nyata.

Keortogonalan dan penormalan mod semula jadi¶

Pertimbangkan dua mod yang berbeza.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Daripada ini,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

dan apabila nilai eigen berbeza,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Oleh itu, mod semula jadi yang berbeza adalah ortogon terhadap matriks jisim. Bagi mod yang sama, penormalan terhadap matriks jisim (Pers. \(\eqref{eq:2.6.12}\)) memudahkan pengendalian seterusnya.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Respons harmonik dengan redaman¶

Seterusnya ditunjukkan perumusan analisis respons frekuensi yang mengambil kira redaman. Persamaan gerakan sasaran diberikan dalam Pers. \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Terma redaman diandaikan daripada jenis Rayleigh dan boleh dinyatakan seperti dalam \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Menggunakan vektor eigen yang diperoleh daripada analisis modal, vektor sesaran pada masa t boleh dikembangkan seperti Pers. \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Apabila terma daya luaran mempunyai bentuk harmonik

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

\(b_{j}(t)\) ditentukan. Oleh sebab persamaan gerakan \(\eqref{eq:2.6.13}\) berbentuk getaran paksa,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

berlaku. Bahagian nyata dan khayal bagi pekali pengembangan \(b_{j}(t)\) masing-masing berbentuk Pers. \(\eqref{eq:2.6.18}i\) dan \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Maka diperoleh ungkapan di atas.

Topik berkaitan¶

Analisis modal — perumusan masalah nilai eigen yang menjadi asas
Kaedah analisis dinamik — analisis dinamik dalam domain masa
Jenis analisis — gambaran keseluruhan fungsi analisis respons frekuensi