Analisis modal - FrontISTR Multilingual Documentation

Masalah nilai eigen teritlak¶

Apabila menganalisis getaran bebas suatu kontinum, pendiskretan ruang dilakukan dan sistem dimodelkan sebagai sistem berbilang darjah kebebasan dengan jisim tertumpu seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.3.1. Bagi masalah getaran bebas tanpa redaman, persamaan mentadbir (persamaan gerakan) adalah seperti berikut.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Di sini, $u$ ialah vektor sesaran teritlak, $M$ matriks jisim dan $K$ matriks kekakuan. Ambil frekuensi sudut semula jadi sebagai $\omega$, $a$, $b$, $c$ sebagai pemalar arbitrari, dan $x$ sebagai vektor, lalu takrifkan fungsi

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Dengan takrif ini, terbitan keduanya ialah

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Menggantikan ini ke dalam Pers. $\eqref{eq:2.3.1}$ memberikan

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

iaitu,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

dan diperoleh.

Oleh itu, pekali yang memenuhi Pers. $\eqref{eq:2.3.5}$, $\lambda = \omega^2$ serta vektor $x$ dapat ditemukan, fungsi $u(t)$ ialah penyelesaian Pers. $\eqref{eq:2.3.1}$.

Pekali $\lambda$ dipanggil nilai eigen dan vektor $x$ dipanggil vektor eigen; masalah mencari kedua-duanya daripada Pers. $\eqref{eq:2.3.1}$ dipanggil masalah nilai eigen teritlak.

Contoh sistem berbilang darjah kebebasan bagi getaran bebas tanpa redaman

Rajah 2.3.1 Contoh sistem berbilang darjah kebebasan bagi getaran bebas tanpa redaman

Sifat dan andaian matriks¶

Bagi masalah nilai eigen teritlak $K x = \lambda M x$ yang diperoleh dalam bahagian sebelumnya, manual ini mengandaikan sifat matriks berikut. Andaian ini menjadi asas bagi penumpuan dan julat aplikasi lelaran songsang dengan anjakan serta kaedah Lanczos yang diterangkan seterusnya. Bagi matriks kompleks, transpos berkaitan dengan konjugat kompleks, manakala matriks nyata adalah simetri. Jika komponen matriks $K$, $ij$, ialah $k_{ij}$, dan konjugat kompleks bagi $k$ ditulis sebagai $\bar{k}$, maka

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

hubungan berikut berlaku.

Dalam manual ini, matriks diandaikan simetri dan positif tentu. Positif tentu bermaksud semua nilai eigen adalah positif; dengan kata lain, Pers. $\eqref{eq:2.3.7}$ sentiasa dipenuhi.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Lelaran songsang dengan anjakan¶

Dalam analisis struktur menggunakan kaedah unsur terhingga, secara praktikal semua nilai eigen tidak diperlukan; selalunya hanya beberapa nilai eigen berperingkat rendah sudah mencukupi. HEC-MW direka untuk menangani masalah berskala besar, maka matriksnya besar dan sangat jarang (banyak unsur sifar). Oleh itu, penting untuk memperoleh nilai eigen mod peringkat rendah dengan cekap.

Apabila had bawah nilai eigen ialah $\sigma$, Pers. $\eqref{eq:2.3.5}$ diubah seperti berikut (secara matematik setara).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Dalam pengiraan, ini mempunyai sifat yang menguntungkan berikut.

Susunan mod diterbalikkan.
Nilai eigen di sekitar $\rho$ dibesarkan.

Dalam pengiraan sebenar, nilai eigen terbesar sering diperoleh terlebih dahulu. Oleh itu, pengiraan penumpuan utama digunakan pada Pers. $\eqref{eq:2.3.5}$ dan bukannya Pers. $\eqref{eq:2.3.8}$, dengan tujuan memperoleh nilai eigen di sekitar $\rho$ terlebih dahulu. Kaedah ini dipanggil lelaran songsang dengan anjakan.

Kaedah Lanczos¶

Sebab pemilihan (perbandingan dengan kaedah Jacobi)¶

Antara kaedah klasik, kaedah Jacobi terkenal.

Kaedah ini berkesan apabila matriks kecil dan padat. Namun, matriks yang dikendalikan oleh HEC-MW berskala besar dan jarang, maka kaedah ini tidak digunakan; sebaliknya kaedah lelaran Lanczos digunakan.

Algoritma dan ciri¶

Kaedah yang dicadangkan oleh C. Lanczos pada tahun 1950-an ini ialah algoritma untuk mentridiagonalkan matriks dan mempunyai ciri berikut.

Ia kaedah penumpuan berulang dan pengiraan boleh diteruskan sambil mengekalkan matriks dalam bentuk jarang.
Algoritmanya berpusat pada hasil darab matriks-vektor, jadi sesuai untuk pemprosesan selari.
Ia sesuai dengan penguraian domain geometri yang berkaitan dengan mesh unsur terhingga.
Pengiraan cekap boleh dilakukan dengan mengehadkan bilangan nilai eigen atau julat mod yang dicari.

Kaedah Lanczos bermula daripada vektor awal, membina vektor ortogon secara berturutan dan memperoleh asas subruang. Kaedah ini dikatakan lebih pantas daripada kaedah subruang, satu lagi kaedah lelaran, dan digunakan secara meluas dalam program unsur terhingga. Namun, kaedah ini mudah dipengaruhi ralat komputer; keortogonalan vektor boleh hilang dan pengiraan boleh gagal di tengah jalan. Oleh itu, langkah menangani ralat adalah penting.

Makna geometri (subruang Krylov)¶

Dengan membuat transformasi pemboleh ubah berikut pada Pers. $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalah ditulis semula sebagai

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

dan diperoleh.

Terhadap vektor yang sesuai $q_0$, transformasi linear dengan matriks $A$ dikenakan (lihat Rajah 2.3.2).

$Transformasi linear oleh matriks $A$ terhadap $q_0$$

Rajah 2.3.2 Transformasi linear oleh matriks $A$ terhadap $q_0$

Vektor yang ditransformasikan diortogonalkan dalam ruang yang dibentuk bersama vektor asal. Iaitu, pengortogonalan Gram-Schmidt seperti dalam Rajah 2.3.2 dilakukan. Vektor yang terhasil ditetapkan sebagai $r_1$, dinormalkan (panjang 1), lalu $q_1$ diperoleh (Rajah 2.3.3). Dengan algoritma yang sama, daripada $q_1$ diperoleh $q_2$. Pada ketika ini, $q_2$ ortogon terhadap kedua-dua $q_1$ dan $q_0$ (Rajah 2.3.4). Dengan meneruskan pengiraan yang sama, vektor yang saling ortogon boleh diperoleh sehingga peringkat maksimum matriks.

$Vektor yang ortogon terhadap $q_0$, iaitu $q_1$$

Rajah 2.3.3 Vektor yang ortogon terhadap $q_0$, iaitu $q_1$

$Vektor yang ortogon terhadap $q_1$ dan $q_0$, iaitu $q_2$$

Rajah 2.3.4 Vektor yang ortogon terhadap $q_1$ dan $q_0$, iaitu $q_2$

Secara khusus, algoritma Lanczos melakukan pengortogonalan Gram-Schmidt terhadap jujukan vektor $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

atau, dengan kata lain, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

tersebut. Jujukan vektor ini dipanggil jujukan Krylov, dan ruang yang dibentuknya dipanggil subruang Krylov. Apabila pengortogonalan Gram-Schmidt dilakukan dalam ruang ini, vektor seterusnya boleh diperoleh menggunakan dua vektor terkini. Ini dipanggil prinsip Lanczos.

Tridiagonalisasi¶

Dalam lelaran di atas, pengiraan ke-i+1 boleh dinyatakan sebagai

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

dengan

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

dan diperoleh. Dalam notasi matriks,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

di mana

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Oleh itu, nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan masalah nilai eigen bagi matriks tridiagonal yang diperoleh daripada Pers. $\eqref{eq:2.3.13}$.

Topik berkaitan¶

Analisis respons frekuensi — respons frekuensi menggunakan hasil analisis modal
Jenis analisis — gambaran keseluruhan fungsi analisis modal