Notasi tensor dan asas matematik¶

Bab ini menghimpunkan konvensyen notasi tensor, notasi indeks dan notasi Voigt yang digunakan dalam bab-bab seterusnya dalam manual teori FrontISTR. Di sini hanya peraturan notasi tulen yang tidak bergantung pada takrif kuantiti fizikal diterangkan. Konvensyen simbol yang bergantung pada konfigurasi (rujukan/semasa) dalam gerakan kontinum, seperti penggunaan huruf besar/kecil dan perbezaan terbitan bahan dengan terbitan ruang, diletakkan dalam Gerakan, ubah bentuk dan terikan, tempat konsep konfigurasi diperkenalkan.

Notasi tensor¶

Notasi huruf tebal untuk vektor dan tensor¶

Sebagai prinsip tipografi, skalar dan komponen vektor/tensor ditulis dengan huruf biasa (contohnya \(\rho\), \(x_i\)), manakala kuantiti vektor/tensor itu sendiri ditulis dengan huruf tebal (contohnya \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Konvensyen penjumlahan Einstein¶

Melainkan dinyatakan sebaliknya, konvensyen penjumlahan Einstein digunakan: apabila indeks yang sama muncul dua kali dalam satu terma, penjumlahan dilakukan atas indeks tersebut. Contohnya,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

dan bagi tensor \(\boldsymbol{A}\) dan \(\boldsymbol{B}\), hasil darab \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) mempunyai komponen \(i,j\)

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Bagi konvensyen indeks, melainkan dinyatakan sebaliknya, \(i, j, k, l, \ldots\) bermaksud indeks bagi darjah kebebasan (dalam 3D, \(1, 2, 3\)), manakala huruf kecil Yunani \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) bermaksud indeks bagi nod yang membentuk unsur.

Hasil darab dalam, transpos dan hasil darab tensor¶

Transpos tensor \(\boldsymbol{A}\) dinyatakan sebagai \(\boldsymbol{A}^T\). Hasil darab dalam (penguncupan berganda) bagi tensor peringkat kedua \(\boldsymbol{A}\) dan \(\boldsymbol{B}\) ditulis sebagai

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Hasil darab dalam vektor \(\boldsymbol{a}\) dan \(\boldsymbol{b}\) ialah \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), dan hasil darab tensor ialah \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notasi Voigt¶

Tegasan dan terikan ialah tensor simetri peringkat kedua bagi darjah kebebasan, manakala pekali yang mewakili hubungan linear antara keduanya ialah tensor peringkat keempat. Mengendalikannya secara langsung dalam program tidak menguntungkan dari segi pengiraan dan pengekodan (tatasusunan berbilang dimensi dan gelung bersarang dalam); oleh itu, dalam program unsur terhingga biasa, dengan menggunakan simetri, tegasan dan terikan dimampatkan kepada vektor lajur, manakala tensor keanjalan peringkat keempat dimampatkan kepada matriks dua dimensi. Ini dipanggil notasi Voigt.

Seterusnya, perwakilan matriks/vektor bagi kuantiti tensor \(\boldsymbol{A}\) dinyatakan sebagai \(\hat{A}\) untuk membezakannya daripada tensor asal.

Notasi vektor bagi tegasan dan terikan¶

Bagi tensor tegasan simetri \(\boldsymbol{\sigma}\) dan tensor terikan \(\boldsymbol{\varepsilon}\), dalam dua dimensi

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

dan dalam tiga dimensi

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ia dikendalikan sebagai vektor lajur seperti di atas. Peraturan yang sama digunakan untuk kuantiti terbitan seperti variasi dan pembezaan. Perhatikan bahawa komponen ricih pada sisi terikan mempunyai faktor 2 (tiada pada sisi tegasan). Disebabkan ketaksimetrian ini, hasil darab dalam tensor boleh ditulis sebagai hasil darab dalam vektor

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

dalam bentuk yang ringkas. Dalam pelaksanaan, faktor 2 pada komponen terikan ricih mudah tersalah urus, jadi sentiasa ingat konvensyen “tiada pada tegasan / ada pada terikan”. Konvensyen Voigt yang sama digunakan kepada kuantiti dalam konfigurasi rujukan (tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Notasi matriks bagi tensor peringkat keempat¶

Bagi hubungan linear antara tegasan dan terikan \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (dalam komponen, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), menggunakan simetri \(\boldsymbol{\varepsilon}\) membolehkan ia ditulis semula sebagai

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Dalam tiga dimensi, apabila \(\tilde{C}\) disusun sebagai matriks bahan 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), hubungan tensor asal menjadi

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Seterusnya dalam manual ini, melainkan dinyatakan sebaliknya, matriks bahan dinyatakan sebagai \(D\) (atau \(\hat{C}\)). Untuk komponen khusus keanjalan linear isotropik, lihat Keanjalan linear.

Konvensyen operator pembezaan¶

Operator kecerunan simetri¶

Bagi medan vektor \(\boldsymbol{u}\), operator kecerunan simetri \(\nabla_S\) ditakrifkan sebagai

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Dalam komponen, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Terikan ubah bentuk kecil \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) boleh dinyatakan secara ringkas dengan operator ini. Pemilihan konfigurasi (rujukan/semasa) untuk mengambil kecerunan dalam ubah bentuk terhingga diterangkan dalam Gerakan, ubah bentuk dan terikan.

Terbitan masa bahan¶

Terbitan masa bahan bagi suatu kuantiti \(A\) (terbitan masa yang mengikuti titik bahan yang sama) dinyatakan dengan titik atas sebagai \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Halaju dan pecutan mengikuti konvensyen ini.

Topik berkaitan¶

Gerakan, ubah bentuk dan terikan — konsep konfigurasi rujukan/semasa dan konvensyen simbol yang bergantung pada konfigurasi (huruf besar/kecil, terbitan bahan/ruang)
Tegasan dan hukum pemuliharaan — penerbitan persamaan mentadbir menggunakan notasi ini
Prinsip kerja maya — bentuk lemah dan penggunaan notasi Voigt
Keanjalan linear — bentuk khusus matriks bahan \(D\)
Fungsi bentuk dan penghampiran unsur terhingga — pengiraan kekakuan unsur menggunakan notasi Voigt