Rangka kerja analisis inkremental¶

Keperluan analisis inkremental¶

Seperti yang diterangkan sebelum ini, bagi analisis masalah ubah bentuk kecil, analisis unsur terhingga boleh dilakukan dengan menggunakan prinsip kerja maya yang setara dengan persamaan asas seperti persamaan keseimbangan, kemudian mendiskretkan persamaan tersebut dengan unsur terhingga. Prinsip kerja maya yang sama pada asasnya turut digunakan untuk masalah ubah bentuk terhingga yang melibatkan ubah bentuk besar struktur.

Walau bagaimanapun, dalam masalah ubah bentuk terhingga, persamaan prinsip kerja maya menjadi tak linear terhadap sesaran walaupun kelinearan bahan diandaikan. Untuk menyelesaikan persamaan tak linear, pengiraan berulang menggunakan kaedah lelaran lazimnya digunakan.

Dalam pengiraan lelaran tersebut, kaedah analisis inkremental digunakan: pengiraan dilakukan secara berperingkat bagi kenaikan beban yang kecil, kemudian kenaikan itu dikumpulkan sehingga keadaan ubah bentuk akhir dicapai. Apabila masalah ubah bentuk kecil diandaikan, konfigurasi untuk mentakrifkan terikan dan tegasan tidak dibezakan secara khusus antara sebelum dan selepas ubah bentuk. Dengan kata lain, di bawah andaian ubah bentuk kecil, tidak menjadi masalah sama ada konfigurasi bagi menerangkan persamaan asas ialah sebelum atau selepas ubah bentuk.

Apabila analisis inkremental dilakukan untuk masalah ubah bentuk terhingga, perumusannya berbeza bergantung pada sama ada konfigurasi awal atau konfigurasi pada permulaan kenaikan dipilih sebagai konfigurasi rujukan. Yang pertama disebut kaedah total Lagrange dan yang kedua kaedah updated Lagrange. Untuk butiran, rujuk rujukan pada akhir bab dan bahan berkaitan.

Persamaan permulaan: prinsip kerja maya pada masa \(t'\)¶

Pertimbangkan analisis inkremental yang keadaan sehingga masa \(t\) diketahui dan keadaan pada masa \(t' = t + \Delta t\) tidak diketahui (lihat Rajah 2.2.1). Persamaan keseimbangan, syarat sempadan dan prinsip kerja maya pada masa \(t'\) (dinyatakan dalam konfigurasi semasa menggunakan tegasan Cauchy \(^{t'}\sigma\) dan bahagian linear terikan Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) adalah seperti yang diberikan dalam Prinsip kerja maya.

Rajah 2.2.1 Konsep analisis inkremental

Namun, kerana persamaan permulaan ini ditulis dalam konfigurasi (yang tidak diketahui) pada masa \(t'\), prosedur penyelesaian sebenar memilih semula sama ada konfigurasi awal pada masa \(0\), \(V\), atau konfigurasi semasa pada masa \(t\), \(^{t'} v\), sebagai konfigurasi rujukan, menulis semula persamaan dalam bentuk inkremental, kemudian menyelesaikannya:

• Kaedah Total Lagrange — menggunakan konfigurasi awal \(V\) sebagai rujukan. Tegasan PK kedua \(\boldsymbol{S}\) dan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) digunakan.
• Kaedah Updated Lagrange — menggunakan konfigurasi semasa \(^{t}v\) pada permulaan kenaikan sebagai rujukan. Tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan bahagian linear terikan Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) digunakan.

Untuk pendiskretan ruang kedua-dua perumusan (matriks B dan vektor daya dalaman), lihat Pendiskretan kerja maya dalaman; untuk pelinearan dan pembentukan kekakuan tangen, lihat Matriks kekakuan tangen.

Topik berkaitan¶

• Prinsip kerja maya — persamaan permulaan utama (bentuk lemah dalam konfigurasi semasa dan awal)
• Pendiskretan kerja maya dalaman — matriks B dan vektor daya dalaman bagi TL/UL
• Matriks kekakuan tangen — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) yang diperoleh melalui pelinearan
• Kaedah Newton-Raphson — algoritma lelaran