Tegasan dan Hukum Keabadian¶

Bab ini menyusun takrif dan hubungan antara tensor tegasan, bersama persamaan keseimbangan dan simetri tegasan yang diterbitkan daripada keabadian jisim, momentum linear dan momentum sudut. Tiga tensor tegasan—tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), tegasan Piola-Kirchhoff pertama \(\boldsymbol{P}\) dan tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\)—diperkenalkan mengikut konfigurasi yang digunakan untuk permukaan rujukan dan vektor daya. Lihat Gerakan, Ubah Bentuk dan Terikan untuk takrif konfigurasi, gerakan dan kecerunan ubah bentuk, serta Senarai Simbol Kuantiti Fizikal untuk senarai simbol.

Tensor Tegasan Cauchy¶

Ambil \(d\boldsymbol{f}\) sebagai daya yang bertindak pada permukaan infinitesimal di titik \(\boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi semasa (luas \(d\Gamma\), normal unit keluar \(\boldsymbol{n}\)), dan takrifkan vektor traksi \(\boldsymbol{t}\) sebagai daya per unit luas melalui \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) bergantung pada kedua-dua kedudukan \(\boldsymbol{x}\) dan normal \(\boldsymbol{n}\). Penerapan keabadian momentum pada tetrahedron infinitesimal menunjukkan bahawa \(\boldsymbol{t}\) adalah linear terhadap \(\boldsymbol{n}\), maka wujud tensor tertib kedua \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) sedemikian rupa sehingga

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

untuk sebarang \(\boldsymbol{n}\) (teorem tegasan Cauchy). Tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) ini dipanggil tensor tegasan Cauchy, dan juga tegasan benar kerana ia mewakili daya per unit luas yang diukur berasaskan geometri konfigurasi semasa. Komponen \(\sigma_{ij}\) mewakili komponen \(x_i\) bagi daya per unit luas yang bertindak pada permukaan infinitesimal yang normal kepada paksi koordinat \(x_j\) dalam konfigurasi semasa.

Seperti yang ditunjukkan kemudian daripada keabadian momentum sudut, tegasan Cauchy ialah tensor simetri:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Oleh itu, dalam tiga dimensi ia mempunyai enam komponen bebas (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Pemvektoran tegasan dalam notasi Voigt mengandaikan simetri ini (lihat Notasi Tensor dan Asas Matematik). Tegasan Cauchy digunakan untuk output tegasan dalam analisis tak linear geometri FrontISTR dengan kaedah Updated Lagrange dan dalam analisis ubah bentuk kecil.

Tegasan Piola-Kirchhoff Pertama dan Kedua¶

Bagi ubah bentuk terhingga, sering lebih sesuai untuk menyatakan tegasan dengan merujuk permukaan dan vektor dalam konfigurasi rujukan; oleh itu dua tensor tegasan Piola-Kirchhoff diperkenalkan. Ambil luas permukaan infinitesimal dalam konfigurasi rujukan sebagai \(d\Gamma_0\) dan normal unit keluarnya sebagai \(\boldsymbol{N}\).

Tegasan Piola-Kirchhoff pertama (tegasan PK pertama, tegasan nominal) \(\boldsymbol{P}\) ditakrifkan sebagai tensor tegasan apabila daya \(d\boldsymbol{f}\) dalam konfigurasi semasa dikenakan pada permukaan infinitesimal dalam konfigurasi rujukan:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Dengan menggunakan formula Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) bersama teorem tegasan Cauchy, hubungan dengan tegasan Cauchy diperoleh:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Tegasan PK pertama secara umum tidak simetri.

Tegasan Piola-Kirchhoff kedua (tegasan PK kedua) \(\boldsymbol{S}\) ditakrifkan sebagai tensor tegasan yang diperoleh dengan menarik balik daya konfigurasi semasa \(d\boldsymbol{f}\) ke konfigurasi rujukan menggunakan \(\boldsymbol{F}^{-1}\) dan mengenakannya pada permukaan infinitesimal dalam konfigurasi rujukan:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Kedua-dua vektor daya dan permukaan tindakannya dinyatakan dengan kuantiti konfigurasi rujukan, menjadikannya invarian terhadap putaran jasad tegar dan simetri. Hubungannya dengan tegasan PK pertama dan transformasi daripada tegasan Cauchy ialah

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Tegasan PK kedua diterbitkan daripada fungsi tenaga terikan hiperanjal \(W(\boldsymbol{C})\) sebagai \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) dan, dalam kaedah Total Lagrange, digunakan bersama terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sebagai pasangan konjugat kerja \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Konfigurasi rujukan dan sifat simetri diringkaskan dalam jadual berikut. Dalam had ubah bentuk kecil (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), ketiga-tiga tegasan adalah sama.

Tensor tegasan	Permukaan rujukan	Vektor daya	Simetri	Penggunaan
Tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Konfigurasi semasa \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Konfigurasi semasa \(d\boldsymbol{f}\)	Simetri	Kaedah Updated Lagrange / analisis ubah bentuk kecil
Tegasan PK pertama \(\boldsymbol{P}\)	Konfigurasi rujukan \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurasi semasa \(d\boldsymbol{f}\)	Umumnya tidak simetri	Persamaan keseimbangan dalam konfigurasi rujukan
Tegasan PK kedua \(\boldsymbol{S}\)	Konfigurasi rujukan \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurasi rujukan \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetri	Kaedah Total Lagrange / hiperkeanjalan

Keabadian Jisim dan Momentum serta Persamaan Keseimbangan¶

Ambil \(\rho\) sebagai ketumpatan jisim dalam konfigurasi semasa dan \(\rho_0\) sebagai ketumpatan jisim dalam konfigurasi rujukan. Hukum keabadian jisim \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), bersama transformasi unsur isipadu \(dv = J\, dV\), menurun kepada bentuk setempat

\[ \rho_0 = J \rho \]

Ini ialah hubungan setempat bagi keabadian jisim.

Ambil \(\boldsymbol{g}\) sebagai daya jasad per unit jisim dan \(\boldsymbol{a}\) sebagai pecutan. Menerapkan teorem tegasan Cauchy dan teorem kecapahan Gauss pada keabadian momentum linear (hukum gerakan pertama Euler) memberikan persamaan keseimbangan (persamaan gerakan) setempat dalam konfigurasi semasa:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Menulis semula kamiran dalam konfigurasi rujukan menggunakan formula Nanson dan \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) memberikan bentuk setempat dalam konfigurasi rujukan:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Kedua-dua bentuk adalah setara melalui hukum transformasi tegasan dan \(\rho_0 = J\rho\). Dengan mengabaikan sebutan inersia, diperoleh

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

yang merupakan persamaan keseimbangan statik dan menjadi persamaan permulaan bagi analisis statik FrontISTR (linear dan tak linear).

Keabadian Momentum Sudut dan Simetri Tegasan¶

Menggabungkan keabadian momentum sudut (hukum gerakan kedua Euler) dengan persamaan keseimbangan daripada keabadian momentum linear menghasilkan simetri tensor tegasan Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Oleh itu, ia mempunyai enam komponen bebas dalam tiga dimensi. Dengan mengambil transpose kedua-dua sisi transformasi \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) dan menggunakan ketaksingularan \(\boldsymbol{F}\), tegasan PK kedua juga terbukti simetri:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

dan oleh itu juga mempunyai enam komponen bebas. Sebaliknya, tegasan PK pertama \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) secara umum tidak simetri; hanya hubungan \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) yang berlaku (iaitu \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) simetri), dan ia mempunyai sembilan komponen bebas.

Simetri ini menjadi asas untuk menyatakan tegasan sebagai vektor enam komponen dalam notasi Voigt. Lihat Notasi Tensor dan Asas Matematik dan Keanjalan Linear untuk konvensyen notasi Voigt dan pembentukan matriks bahan.