Gerakan, ubah bentuk dan terikan¶

Konfigurasi rujukan dan konfigurasi semasa¶

Takrif konfigurasi¶

Untuk membezakan bentuk pada masa yang dijadikan asas untuk menerangkan kuantiti fizik, manual ini menggunakan dua jenis konfigurasi.

Konfigurasi rujukan (reference configuration): bentuk sebelum berubah bentuk pada permulaan analisis (masa \(0\)), juga dipanggil konfigurasi awal. Titik dalam konfigurasi rujukan diwakili oleh koordinat bahan \(\boldsymbol{X}\), dengan isipadu \(V\) dan permukaan \(S\).
Konfigurasi semasa (current configuration): bentuk selepas ubah bentuk pada masa \(t\). Titik dalam konfigurasi semasa diwakili oleh koordinat ruang \(\boldsymbol{x}\), dengan isipadu \(v\) dan permukaan \(s\).

Gerakan dinyatakan sebagai pemetaan antara dua konfigurasi ini, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), dan sesaran ditakrifkan sebagai \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konvensyen simbol bergantung pada konfigurasi (huruf besar/huruf kecil)¶

Huruf besar atau kecil pada simbol membezakan konfigurasi yang berkaitan dengan kuantiti fizik.

Kuantiti dalam konfigurasi rujukan ditulis dengan huruf besar (contohnya \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Kuantiti dalam konfigurasi semasa ditulis dengan huruf kecil (contohnya \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Bagi kuantiti yang merentasi kedua-dua konfigurasi, seperti tegasan Piola-Kirchhoff pertama \(\boldsymbol{P}\), simbol konvensional digunakan dan diterangkan apabila diperlukan dalam teks.
Dalam teori ubah bentuk kecil, perbezaan antara kedua-dua konfigurasi hilang, maka hanya huruf kecil (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) digunakan.

Kecerunan konfigurasi rujukan dan konfigurasi semasa¶

Simbol dan maknanya berbeza bergantung pada konfigurasi yang digunakan untuk pembezaan ruang.

Kecerunan konfigurasi rujukan \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): kecerunan terhadap koordinat bahan. Contoh: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Kecerunan konfigurasi semasa \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): kecerunan terhadap koordinat ruang. Contoh: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Kedua-duanya berkaitan melalui \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Untuk konvensyen terbitan masa (terbitan masa bahan \(\dot{(\cdot)}\)), rujuk Notasi tensor dan asas matematik.

Perihalan gerakan¶

Pemetaan gerakan dan perihalan bahan/ruang¶

Jika kontinum dianggap sebagai himpunan titik bahan yang dilabelkan oleh kedudukannya \(\boldsymbol{X}\) pada masa \(0\), gerakan dinyatakan oleh pemetaan \(\phi\) yang memetakan titik bahan \(\boldsymbol{X}\) kepada kedudukannya \(\boldsymbol{x}\) pada masa \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Apabila konfigurasi rujukan dipilih sebagai konfigurasi awal, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Dua jenis perihalan dibezakan mengikut pilihan pemboleh ubah bebas.

Perihalan bahan (perihalan Lagrange): kuantiti fizik dinyatakan sebagai fungsi \((\boldsymbol{X}, t)\). Dalam mekanik pepejal, ini ialah pilihan semula jadi kerana konfigurasi rujukan diberikan sebagai bentuk tetap.
Perihalan ruang (perihalan Euler): kuantiti fizik dinyatakan sebagai fungsi \((\boldsymbol{x}, t)\). Ini digunakan secara standard dalam mekanik bendalir.

Analisis struktur FrontISTR pada asasnya menggunakan perihalan bahan, tetapi dalam kaedah Updated Lagrange, konfigurasi semasa digunakan sebagai konfigurasi rujukan baharu, maka kuantiti perihalan ruang turut digunakan.

Sesaran, halaju dan pecutan¶

Sesaran \(\boldsymbol{u}\) ditakrifkan seperti dalam bahagian sebelumnya, iaitu \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Tiada andaian dibuat tentang magnitudnya, dan ubah bentuk terhingga turut dirangkumi. Vektor halaju dan pecutan ditakrifkan sebagai terbitan masa bahan bagi \(\boldsymbol{u}\) dengan mengekalkan titik bahan yang sama:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

dan ditakrifkan seperti di atas.

Kecerunan ubah bentuk dan tensor ubah bentuk¶

Tensor kecerunan ubah bentuk¶

Kuantiti asas dalam mekanik kontinum ubah bentuk terhingga ialah tensor kecerunan ubah bentuk \(\boldsymbol{F}\). Ia merupakan pemetaan linear yang memetakan unsur garis infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) dalam konfigurasi rujukan kepada unsur garis infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi semasa, dan ditakrifkan sebagai kecerunan pemetaan gerakan terhadap koordinat bahan:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Dalam keadaan tanpa ubah bentuk, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) digunakan secara meluas untuk mentakrifkan terikan dan tegasan serta menukar kuantiti fizik antara konfigurasi.

Nisbah perubahan isipadu¶

Nisbah antara isipadu infinitesimal \(dV\) dalam konfigurasi rujukan dan isipadu infinitesimal \(dv\) dalam konfigurasi semasa disebut nisbah perubahan isipadu \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Daripada kebolehbalikan kontinum, \(J > 0\) diandaikan. Hukum keabadian jisim dinyatakan sebagai \(\rho_0 = J\rho\).

Tensor ubah bentuk Cauchy-Green kanan dan kiri¶

Oleh sebab kecerunan ubah bentuk \(\boldsymbol{F}\) mengandungi putaran jasad tegar, ukuran ubah bentuk itu sendiri menggunakan kuantiti yang tidak mengandungi putaran jasad tegar. Tensor ubah bentuk Cauchy-Green kanan \(\boldsymbol{C}\) (konfigurasi rujukan) dan tensor ubah bentuk Cauchy-Green kiri \(\boldsymbol{b}\) (konfigurasi semasa) ditakrifkan sebagai

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Kedua-duanya ialah tensor simetri dan mempunyai nilai eigen yang sama (kuasa dua nisbah regangan utama). Invarian utama bagi fungsi tenaga terikan hiperelastik dinyatakan menggunakan tensor ini.

Tensor terikan¶

Tensor terikan Green-Lagrange¶

Sebagai ukuran terikan berasaskan konfigurasi rujukan, tensor terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ditakrifkan sebagai

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Ia ialah tensor simetri yang mewakili perubahan hasil darab dalam vektor infinitesimal dalam konfigurasi rujukan, tidak berubah terhadap putaran jasad tegar, dan menjadi \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) dalam keadaan tanpa ubah bentuk. Dengan menggunakan \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\),

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ia dinyatakan sebagai jumlah sebutan tertib pertama dan kedua bagi kecerunan sesaran, dan sebutan tertib kedua mewakili ketaklinearan geometri. Dalam kaedah Total Lagrange, ia digunakan sebagai pasangan konjugat tegasan \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor terikan Almansi¶

Sebagai ukuran terikan berasaskan konfigurasi semasa, tensor terikan Almansi \(\boldsymbol{e}\) ditakrifkan sebagai

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Ia berkaitan dengan terikan Green-Lagrange melalui \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback).

Tensor terikan infinitesimal¶

Apabila kecerunan sesaran kecil (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), sebutan tertib kedua terikan Green-Lagrange boleh diabaikan dan perbezaan antara kedua-dua konfigurasi hilang; maka ia tereduksi kepada tensor terikan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\) dengan kecerunan dinyatakan dalam koordinat ruang:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Analisis statik linear, analisis modal, analisis tindak balas frekuensi dan analisis dinamik linear FrontISTR menggunakan ukuran terikan ini. Dalam analisis ubah bentuk terhingga, kaedah Total Lagrange menggunakan \(\boldsymbol{E}\), manakala kaedah Updated Lagrange menggunakan tensor kadar ubah bentuk \(\boldsymbol{D}\) berasaskan konfigurasi semasa.