Pengamiran Berangka¶

Vektor daya dalaman unsur \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) dan matriks kekakuan unsur \(\boldsymbol{K}^e\) yang diperoleh dalam Pendiskretan Kerja Maya Daya Dalaman dan Kerja Maya Daya Luaran dan Pemasangan Persamaan Global berbentuk kamiran pada domain unsur \(\Omega^e\) atau \(\Omega^e_0\). FrontISTR menilainya secara berangka menggunakan kuadratur Gauss.

Kuadratur Gauss dan Pertukaran Pemboleh Ubah¶

Kuadratur Gauss menghampiri kamiran pada domain rujukan \(\Xi\) dengan gabungan linear nilai fungsi kamiran pada titik pengamiran \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) dan pemberat \(w_i\). Penerapannya pada domain unsur \(\Omega^e\) melibatkan pertukaran pemboleh ubah melalui pemetaan \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), iaitu

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

dengan \(n_q\) ialah bilangan titik pengamiran dan \(J_{\xi_i}\) ialah penentu Jacobian transformasi. Domain rujukan \(\Xi\) ditentukan bagi setiap jenis unsur (untuk heksahedron, \([-1,1]^3\); untuk segi tiga, tetrahedron dan baji, bentuk rujukan masing-masing), manakala titik pengamiran \(\boldsymbol{\xi}_i\) dan pemberat \(w_i\) diberikan sebagai jadual berangka. Kamiran permukaan dikendalikan dalam bentuk yang sama dengan memetakan muka unsur daripada domain rujukan dua dimensi.

Bilangan titik pengamiran lazim yang digunakan oleh FrontISTR ditunjukkan di bawah (untuk padanan dengan jenis unsur, lihat Sistem Penomboran Unsur dan Pustaka Fungsi Bentuk).

Jenis unsur	Rumus kuadratur	Bilangan titik pengamiran
Tetrahedron 4 nod (`tet4n`)	Rumus 1 titik	1
Tetrahedron 10 nod (`tet10n`)	Rumus 4 titik	4
Prisma segi tiga 6 nod (`prism6n`)	Rumus 2 titik	2
Prisma segi tiga 15 nod (`prism15n`)	Rumus 9 titik	9
Heksahedron 8 nod (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
Heksahedron 20 nod (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
Sisi empat 4 nod (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
Sisi empat 8 nod (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
Segi tiga 3 nod (`tri3n`)	Rumus 1 titik	1
Segi tiga 6 nod (`tri6n`)	Rumus 3 titik	3

Bagi unsur heksahedron, sisi empat dan garis, hasil darab tensor rumus Gauss-Legendre pada setiap arah koordinat digunakan. Segi tiga, tetrahedron dan prisma segi tiga menggunakan rumus khusus yang sesuai untuk geometri jenis simpleks (susunan titik yang mengamirkan polinomial secara tepat pada segi tiga itu sendiri).

Penerapan pada Pengamiran Unsur¶

Dalam pengamiran unsur, koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r}\) digunakan sebagai koordinat domain rujukan (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), dan pemetaan kepada koordinat fizikal diberikan oleh interpolasi koordinat nod menggunakan fungsi bentuk. Bergantung pada pemilihan konfigurasi rujukan (Kerangka Analisis Inkremental), perumusan berikut digunakan.

Kaedah Total Lagrange (pengamiran pada konfigurasi rujukan \(\Omega^e_0\)): pemetaan dan Jacobian ialah

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dan daya dalaman unsur serta matriks kekakuan dihampiri sebagai

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Semua \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) dinilai pada titik pengamiran \(\boldsymbol{r}_i\).

Kaedah Updated Lagrange (pengamiran pada konfigurasi semasa \(\Omega^e\)): pemetaan dan Jacobian ialah

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dan

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

digunakan sebagai penghampiran.

Satu-satunya perbezaan antara kedua-dua perumusan ialah sama ada koordinat nod yang diberikan kepada pemetaan ialah \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) atau \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); titik pengamiran, pemberat dan struktur gelung titik pengamiran adalah sama.

Pengamiran Penuh dan Pengamiran Terturun¶

Pengamiran yang menggunakan bilangan titik pengamiran yang mencukupi untuk mengamirkan darjah polinomial fungsi kamiran secara tepat dipanggil pengamiran penuh, manakala pengamiran dengan satu tahap titik pengamiran yang lebih sedikit dipanggil pengamiran terturun. Pengamiran terturun digunakan untuk mengurangkan penguncian ricih dan isipadu, tetapi memerlukan rawatan terhadap mod ubah bentuk palsu seperti mod hourglass. Bilangan titik pengamiran bagi setiap jenis unsur dan pilihan antara pengamiran penuh dengan terturun dibincangkan dalam Sistem Penomboran Unsur dan Pustaka Fungsi Bentuk dan bahagian seterusnya serta Perumusan Unsur Lanjutan.

Topik Berkaitan¶

Terbitan Ruang Fungsi Bentuk — Pengiraan Jacobian
Pendiskretan Kerja Maya Daya Dalaman — Kuantiti yang dinilai melalui pengamiran berangka
Perumusan Unsur Lanjutan — Penggunaan pengamiran terturun