Langkau tajuk talian

Terbitan ruang fungsi bentuk

Fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Penghampiran Unsur Terhingga diberikan sebagai fungsi koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r}\), iaitu koordinat setempat unsur. Sebaliknya, melalui hubungan terikan–sesaran, integran dalam bentuk lemah mengandungi terbitan separa terhadap koordinat fizikal (konfigurasi rujukan \(\boldsymbol{X}\) atau konfigurasi semasa \(\boldsymbol{x}\)), iaitu \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) atau \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Bab ini menyusun prosedur untuk mengira terbitan ruang fungsi bentuk tersebut daripada koordinat nod unsur dan terbitan koordinat semula jadi.

Ungkapan terbitan ruang menggunakan petua rantai

Dengan menggunakan petua rantai pada rumus interpolasi \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (bab sebelumnya), serta matriks Jacobian \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) bagi pemetaan daripada koordinat semula jadi kepada koordinat fizikal, diperoleh

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Di sini, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) dan \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ialah matriks \(n_e \times 3\) dengan baris \(\alpha\) mewakili vektor terbitan separa bagi nod \(\alpha\).

Pembentukan matriks Jacobian

Dengan membeza separa rumus interpolasi terhadap \(\boldsymbol{r}\), diperoleh

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Oleh itu, matriks Jacobian boleh dibentuk terus daripada koordinat nod unsur \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) dan terbitan koordinat semula jadi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Terbitan koordinat semula jadi ditentukan oleh bentuk fungsi bagi fungsi bentuk dan dilaksanakan terlebih dahulu bagi setiap jenis unsur.

Penentu matriks Jacobian \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) digunakan dalam pengamiran berangka untuk menukar unsur isipadu sebagai \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Jika penentu menjadi \(0\), unsur tersebut merosot dan pengiraan gagal.

Aliran pengiraan

Daripada terbitan di atas, pengiraan terbitan ruang \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) boleh dibahagikan kepada empat peringkat berikut.

  1. Kira terbitan koordinat semula jadi: menggunakan jenis unsur dan koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r}\) pada titik penilaian sebagai input, kira matriks terbitan koordinat semula jadi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Oleh sebab bentuk fungsi fungsi bentuk berbeza mengikut jenis unsur, pemprosesan bercabang mengikut jenis unsur.
  2. Kira matriks Jacobian: daripada koordinat nod unsur \(\boldsymbol{X}^e\) dan \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), bina matriks Jacobian \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) menggunakan persamaan dalam bahagian sebelumnya.
  3. Kira matriks songsang dan penentu: kira matriks songsang Jacobian \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) dan penentunya. Penentu digunakan dalam pemberat pengamiran berangka.
  4. Kira terbitan ruang: peroleh terbitan ruang \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) sebagai hasil darab \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) dan \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Empat peringkat ini bercabang mengikut jenis unsur dan dimensi ruang (2D atau 3D), tetapi aliran keseluruhannya adalah sama.

Penggunaan bersama bagi konfigurasi rujukan dan semasa

Prosedur di atas juga boleh digunakan pada konfigurasi semasa hanya dengan menggantikan \(\boldsymbol{X}^e\) dengan koordinat nod semasa \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), lalu memperoleh terbitan ruang \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi semasa. Oleh itu, prosedur yang sama boleh dikongsi antara kaedah Total Lagrange dan Updated Lagrange dengan hanya menukar koordinat nod input.

Item berkaitan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status