Langkau tajuk talian

Keanjalan linear

Bab ini menghuraikan hukum konstitutif (hukum Hooke) bagi bahan elastik linear. Untuk butiran pemilihan model dan spesifikasi input, lihat bahagian fungsi 03_material.

Fenomena (tindak balas elastik linear)

Jasad elastik linear ialah bahan yang, dalam julat terikan akibat beban yang cukup kecil, menunjukkan hubungan linear antara tegasan dan terikan serta tindak balas boleh balik yang tidak bergantung pada sejarah, dengan semua terikan kembali kepada keadaan asal selepas nyahbeban. Tidak seperti keplastikan atau creep, ia tidak mempunyai pemboleh ubah dalaman yang mewakili keadaan (seperti terikan plastik atau terikan likat), dan tegasan ditentukan secara unik hanya oleh terikan semasa.

Dalam julat ubah bentuk kecil, tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan terikan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\) digunakan; dalam julat ubah bentuk terhingga (masalah yang melibatkan putaran besar tetapi terikan itu sendiri kecil), tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) digunakan (bahan St.Venant-Kirchhoff).

Hukum konstitutif

Bahan elastik linear isotropik

Dalam julat ubah bentuk kecil, hukum Hooke isotropik dinyatakan menggunakan pemalar Lamé \(\lambda, \mu\) sebagai

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Dalam bentuk komponen,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

dan penguncupan ganda dengan terikan memberikan \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Pemalar Lamé berkaitan dengan modulus Young \(E\) dan nisbah Poisson \(\nu\) seperti berikut:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Dalam notasi Voigt, hubungan antara vektor terikan \(\hat{\varepsilon}\) dan vektor tegasan \(\hat{\sigma}\) ditulis sebagai \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), dan matriks bahan tiga dimensi \(D\) ialah

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Perwakilan matriks ini digunakan dalam pelaksanaan.

Bahan elastik linear ortotropik

Bagi bahan yang pemalar elastiknya berbeza mengikut arah paksi utama, model ortotropik dengan sembilan pemalar bebas digunakan: modulus Young dalam arah paksi utama \(E_1, E_2, E_3\), nisbah Poisson antara paksi utama \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), dan modulus ricih \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Untuk bentuk eksplisit matriks \(D\), rujuk sumber standard.

Julat ubah bentuk terhingga: bahan St.Venant-Kirchhoff

Bagi masalah yang melibatkan putaran besar tetapi terikan itu sendiri kecil, bahan St.Venant-Kirchhoff digunakan sebagai hukum elastik linear yang menghubungkan tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dengan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Takrif pemalar Lamé \(\lambda, \mu\) adalah sama seperti dalam kes ubah bentuk kecil. Walau bagaimanapun, kerana takrif pasangan tegasan-terikan berbeza, ini ialah hukum konstitutif yang berbeza daripada hukum Hooke untuk ubah bentuk kecil.

Bahan hipoelastik

Dalam kaedah Updated Lagrange, bahan hipoelastik digunakan dengan hukum elastik linear antara kadar Jaumann bagi tensor tegasan Kirchhoff relatif \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) dan tensor kadar ubah bentuk \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Di sini juga, takrif \(\boldsymbol{C}\) dari segi pemalar Lamé sama seperti di atas, tetapi kerana pasangan tegasan-terikan berbeza, hukum konstitutif ini berbeza. Untuk butiran cara \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) dikemas kini melalui prosedur pengamiran masa (pengamiran Euler ke hadapan dan penghampiran beza pusat), lihat tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Pengurangan untuk analisis dua dimensi dan elemen cangkerang

Tegasan satah (\(\sigma_{33} = 0\))

Bagi tegasan satah yang mewakili pembebanan plat nipis dan cangkerang, \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) diandaikan, komponen terikan luar satah \(\varepsilon_{33}\) disingkirkan secara algebra, lalu \(D\) yang terhasil digunakan:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Terikan satah (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Bagi terikan satah yang mewakili keratan rentas struktur panjang yang dikekang dalam arah ketebalan, \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) diandaikan:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Paksi simetri

Dalam analisis paksi simetri, yang menangani masalah dalam koordinat silinder \((r, \theta, z)\) yang seragam dalam arah \(\theta\), empat komponen \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) dan \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) dikekalkan, dan

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

diperoleh.

Elemen cangkerang (tegasan satah + ricih melintang)

Bagi elemen cangkerang, tegasan dalam satah dianggap sebagai tegasan satah, dan bagi komponen terikan ricih melintang \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), faktor pembetulan ricih \(\kappa\) (umumnya \(\kappa = 5/6\)) digunakan untuk memberikan \(\kappa\, G\). Untuk formulasi terperinci setiap elemen, lihat Formulasi elemen lanjutan. Spesifikasi dalam bahagian fungsi 03_material bahawa "elemen cangkerang hanya menyokong keanjalan linear" berasaskan pemudahan ini, iaitu keadaan dalam satah dianggap sebagai tegasan satah.

Kebergantungan suhu

Modulus Young \(E\), nisbah Poisson \(\nu\) dan pekali pengembangan linear \(\alpha\) lazimnya ditentukan sebagai fungsi suhu \(T\). Dalam FrontISTR, nilai dimasukkan bagi jujukan terhingga titik suhu \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), dan nilai pada suhu \(T\) semasa pengiraan dinilai melalui interpolasi linear antara titik bersebelahan. Bagi suhu di luar julat (\(T < T_1\) atau \(T > T_n\)), nilai pada titik hujung terdekat, \(T_1\) atau \(T_n\), digunakan untuk ekstrapolasi (ekstrapolasi malar).

Untuk kebergantungan suhu bagi sifat terma dan pengaliran haba (ketumpatan, haba tentu dan kekonduksian terma), lihat Sifat terma. Peraturan interpolasi adalah sama bagi sifat-sifat ini.

Topik berkaitan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status