Ģeometrisko robežnosacījumu apstrāde¶

Newton-Raphson metode katrā iterācijā atrisina lineāro vienādojumu \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), taču ģeometriskie robežnosacījumi (pārvietojuma ierobežojumi) tajā vēl nav iekļauti. Šajā nodaļā parādīts, kā brīvības pakāpēm, kurām dots pārvietojuma ierobežojums \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), modificēt stinguma matricu \(\boldsymbol{K}\) un atlikuma vektoru \(\boldsymbol{R}\), lai pēc iterācijas pārvietojums sasniegtu noteikto vērtību. Daudzpunktu ierobežojumi (MPC) un nelineārie ierobežojumi kontakta dēļ tiek apstrādāti atsevišķi; skatiet daudzpunktu ierobežojumus un kontaktu.

Pieeja, kurā pārvietojuma ierobežojumi tiek saglabāti kā nezināmie¶

Mezgla pārvietojums, kam dots ģeometriskais robežnosacījums, vairs nav nezināms, bet ir fiksēts noteiktajā vērtībā \(\bar{u}_i\). Šīs brīvības pakāpes varētu uzskatīt par konstantēm un izslēgt no lineārā vienādojuma \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), tomēr FrontISTR realizē ierobežojumu, modificējot \(\boldsymbol{K}\) un \(\boldsymbol{R}\), vienlaikus saglabājot ierobežotās brīvības pakāpes korekcijas vektorā \(d\boldsymbol{u}\) tāpat kā pārējās brīvības pakāpes.

Izmantojot šo pieeju, koeficientu matricas izmērs un brīvības pakāpju secība nemainās atkarībā no ierobežojumu esamības, tādēļ nav jāizslēdz mainīgie un jāpārkārto atbrīvotās rindas un kolonnas. Tā kā koeficientu matricas glabāšana retas matricas formā šādu pārkārtošanu padara sarežģītu, FrontISTR izmanto otro pieeju, kur ierobežojums tiek realizēts tikai ar koeficientu matricas un labās puses atjaunināšanu.

Newton-Raphson korekcijas mērķvērtība¶

Pārvietojuma ierobežotajai brīvības pakāpei \(i\) Newton-Raphson iterācijā iegūtā korekcija \(du_i\) tiek noteikta tā, lai

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. iterācija}) \\ 0 & (\text{2. un turpmākās iterācijas}) \end{cases} \]

Modificē \(\boldsymbol{K}\) un \(\boldsymbol{R}\) tā, lai korekcija iegūtu šo vērtību. Tādējādi pirmajā iterācijā pārvietojuma pieaugums sasniedz noteikto vērtību \(\bar{u}_i\), bet no otrās iterācijas korekcija kļūst par \(0\) un noteiktā vērtība tiek saglabāta.

Matricas un atlikuma vektora modificēšanas procedūra¶

Iepriekšējā sadaļā noteiktā mērķvērtība tiek sasniegta ar šādām divām modifikācijām, saglabājot lineārā vienādojuma \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) formu.

\(i\) rindas diagonalizācija: diagonālo locekli \(K_{ii}\), kas ir \(du_i\) koeficients, aizstāj ar \(1\), visus pārējos koeficientus \(K_{ij}\ (j \not= i)\) aizstāj ar \(0\), un labo pusi iestata kā \(R_i \to d\bar{u}_i\). Tad \(i\) rindas vienādojums kļūst par \(du_i = d\bar{u}_i\).
Pārnešana no rindām \(j(\not= i)\): katrai rindai \(j(\not= i)\), ja \(K_{ji} \not= 0\), locekli \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) pārnes uz labo pusi. Tas nozīmē, ka no labās puses atņem \(K_{ji} d\bar{u}_i\) un \(du_i\) koeficientu \(K_{ji}\) iestata uz \(0\).

Komponentu pierakstā vienādojumi pirms un pēc modifikācijas atbilst šādi.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Apzīmējot modificēto koeficientu matricu un labo pusi attiecīgi ar \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), galīgi atrisināmais lineārais vienādojums ir

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Ja ir vairākas ierobežotas brīvības pakāpes, iepriekš minētās 1. un 2. modifikācijas secīgi piemēro katrai ierobežotajai brīvības pakāpei \(i\).

Apstrādes diapazons retās matricas realizācijā¶

Realizācijā koeficientu matrica \(\boldsymbol{K}\) tiek glabāta retas matricas formā. Tāpēc iepriekšējās sadaļas 2. procedūrā rindu \(j(\not= i)\) apstrādi veic tikai rindām, kurām kolonnā \(i\) ir nenulles elementi, t. i., mezglu brīvības pakāpēm, kas caur elementiem ir savienotas ar ierobežoto brīvības pakāpi \(i\). Nesaistītām brīvības pakāpēm \(K_{ji} = 0\), tāpēc locekļa pārnešana labo pusi nemaina. Šis ierobežojums ļauj pabeigt ierobežojumu apstrādi tikai ar lokālām operācijām attiecībā pret kopējo mezglu skaitu.

Saistītās tēmas¶

Ārējo spēku virtuālais darbs un globālā vienādojuma montāža — \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\) uzbūve pirms modifikācijas
Newton-Raphson metode — saistība ar iterāciju korekcijas \(d\boldsymbol{u}\) noteikšanai
Konverģences kritēriji — atlikuma \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) normas novērtējums pēc ierobežojumu apstrādes