Šeit parādīta cietvielu siltumvadīšanas analīzes laika diskretizācija un iteratīvā risināšanas metode, izmantojot galīgo elementu metodi (FEM). Kontinuuma pamatvienādojumus un robežnosacījumus skatiet sadaļā Siltumvadīšanas vienādojums.
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
kur
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
Šeit \(K\), \(M\), \(F\) un \(N\) ir attiecīgi siltumvadīšanas matrica (ietverot konvekcijas un starojuma robežieguldījumus), masas matrica, siltuma slodzes vektors un formas funkciju matrica. Materiālu īpašību apzīmējumi (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) u. c.) definēti sadaļā Siltumvadīšanas vienādojums.
Laika diskretizācija un iteratīvā risināšanas metode¶
Vienādojums \(\eqref{eq:2.4.8}\) ir nelineārs un nestacionārs. Diskretizējot laiku ar atpakaļvērsto Eilera metodi un pieņemot, ka temperatūra laikā \(t=t_0\) ir zināma, temperatūru laikā \(t=t_0+\Delta t\) aprēķina ar šādu vienādojumu.
Aplūkosim temperatūras vektora \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), kas aptuveni apmierina vienādojumu \(\eqref{eq:2.4.13}\), uzlabošanu, lai iegūtu precīzāku atrisinājumu \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
Šim nolūkam temperatūras vektoru vispirms izsaka šādi.
Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) un \(\eqref{eq:2.4.16}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.4.13}\) un atmetot otrās un augstākas kārtas locekļus, iegūst
Nestacionārā analīzē laika soļa \(\Delta t\) lielumam parasti nav stabilitātes ierobežojuma, jo laika diskretizācijai izmanto implicītu metodi. Tomēr, ja laika solis \(\Delta t\) ir pārāk liels, palielinās konverģencei nepieciešamo iterāciju skaits. Parasti pārāk liels laika solis \(\Delta t\) palielina iterāciju skaitu. Īstenojumā tiek izmantota automātiska soļa vadība, kas uzrauga reziduālā vektora lielumu: ja konverģence ir lēna, \(\Delta t\) samazina, bet, ja iterāciju ir maz, \(\Delta t\) palielina (→ detalizētu informāciju skatiet sadaļā Soļa vadība).