Frekvenču atbildes analīze¶

Problēmas formulējums¶

Frekvenču atbildes analīze novērtē sistēmas stacionārā stāvokļa atbildes amplitūdu un fāzi frekvenču apgabalā, ja ārējais spēks laikā mainās harmoniski. Tā kā kustības vienādojuma formulējums atšķiras gadījumos ar un bez slāpēšanas, šajā nodaļā vispirms no neslāpētām brīvajām svārstībām iegūst pašsvārstību formas un pēc tam tās izmanto kā modālo bāzi harmoniskās atbildes ar slāpēšanu izvirzījumam.

Neslāpētas brīvās svārstības un pašsvārstību formas¶

Ja slāpēšanu neņem vērā, kustības vienādojums ir šāds.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Izvēršot to pa pašsvārstību formām, iegūst

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Ievietojot to vienādojumā \(\eqref{eq:2.6.1}\), iegūst

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Šādi iegūst vispārināto īpašvērtību problēmu. Tās skaitliskās risināšanas metodes (nobīdīta inversā iterācija un Lanczos metode) ir aplūkotas sadaļā Modālā analīze. Šajā sadaļā apkopotas iegūto dabisko frekvenču un pašsvārstību formu īpašības, ko izmanto turpmākajā harmoniskās atbildes izvirzījumā.

Dabisko frekvenču reālums¶

Parādīsim, ka dabiskā frekvence ir reāla. Apzīmējot \(\omega_j^2 = \lambda_j\) un ņemot vienādojuma \(\eqref{eq:2.6.3}\) kompleksi saistīto izteiksmi, iegūst vienādojumu \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Reizinot ar \(\overline{U}_J^T\), iegūst

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

No vienādojuma \(\eqref{eq:2.6.5}\) iegūst

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Tā kā masas matrica ir simetriska pozitīvi noteikta, nenulles īpašvektoram ir spēkā

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Tādēļ

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

un līdz ar to \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ir reāls skaitlis.

Pašsvārstību formu ortogonalitāte un normēšana¶

Aplūkosim divas atšķirīgas formas.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

No tā izriet

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

un, ja īpašvērtības ir atšķirīgas,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Tātad dažādas pašsvārstību formas ir ortogonālas attiecībā pret masas matricu. Vienai un tai pašai formai normēšana attiecībā pret masas matricu (vienādojums \(\eqref{eq:2.6.12}\)) vienkāršo turpmāko apstrādi.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmoniskā atbilde ar slāpēšanu¶

Tālāk parādīta frekvenču atbildes analīzes formulācija, ņemot vērā slāpēšanu. Aplūkotais kustības vienādojums dots vienādojumā \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Slāpēšanas loceklim pieņem Rayleigh tipa formu, ko var izteikt kā \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Izmantojot modālajā analīzē iegūtos īpašvektorus, pārvietojuma vektoru laikā t var izvērst kā vienādojumā \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Ja ārējā spēka loceklis ir harmoniskā formā

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

nosaka \(b_{j}(t)\). Tā kā kustības vienādojumam \(\eqref{eq:2.6.13}\) ir piespiestu svārstību forma,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ir spēkā. Izvirzījuma koeficienta \(b_{j}(t)\) reālā un imaginārā daļa iegūstama vienādojumu \(\eqref{eq:2.6.18}i\) un \(\eqref{eq:2.6.19}\) formā.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Tādējādi iegūst iepriekš minētās izteiksmes.

Saistītās tēmas¶

Modālā analīze — pamatā esošās īpašvērtību problēmas formulējums
Dinamiskās analīzes metodes — dinamiskā analīze laika apgabalā
Analīzes veidi — frekvenču atbildes analīzes funkcionalitātes pārskats