Modālā analīze¶

Vispārinātā īpašvērtību problēma¶

Analizējot kontinuuma brīvās svārstības, veic telpisko diskretizāciju un modeli izsaka kā daudzu brīvības pakāpju sistēmu ar koncentrētām masām, kā parādīts 2.3.1. attēlā. Neslāpētu brīvo svārstību gadījumā pamatvienādojums (kustības vienādojums) ir šāds.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Šeit $u$ ir vispārinātais pārvietojuma vektors, $M$ ir masas matrica un $K$ ir stinguma matrica. Apzīmēsim dabisko leņķisko frekvenci ar $\omega$, $a$, $b$, $c$ — patvaļīgas konstantes, bet $x$ — vektoru, un definēsim funkciju

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

To definējot, šīs izteiksmes otrais atvasinājums ir

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Ievietojot to vienādojumā $\eqref{eq:2.3.1}$, iegūst

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

tātad

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

un iegūst

Tātad koeficients, kas apmierina vienādojumu $\eqref{eq:2.3.5}$, $\lambda = \omega^2$ un vektoru $x$, funkcija $u(t)$ ir vienādojuma $\eqref{eq:2.3.1}$ atrisinājums.

Koeficientu $\lambda$ sauc par īpašvērtību, vektoru $x$ — par īpašvektoru, bet šo lielumu noteikšanas uzdevumu no vienādojuma $\eqref{eq:2.3.1}$ sauc par vispārināto īpašvērtību problēmu.

Neslāpētu brīvo svārstību daudzu brīvības pakāpju sistēmas piemērs

2.3.1. attēls. Neslāpētu brīvo svārstību daudzu brīvības pakāpju sistēmas piemērs

Matricu īpašības un pieņēmumi¶

Vispārinātajai īpašvērtību problēmai $K x = \lambda M x$, kas iegūta iepriekšējā sadaļā, šajā rokasgrāmatā pieņem šādas matricu īpašības. Šie pieņēmumi ir pamats turpmākās nobīdītās inversās iterācijas un Lanczos metodes konverģencei un piemērojamībai. Kompleksām matricām transponētā matrica ir kompleksi saistīta, bet reālām matricām matrica ir simetriska. Ja matricas $K$ $ij$ komponents ir $k_{ij}$ un $k$ kompleksi saistīto vērtību apzīmē ar $\bar{k}$, tad

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

pastāv šāda sakarība.

Šajā rokasgrāmatā matrices pieņem kā simetriskas un pozitīvi noteiktas. Pozitīvi noteikta matrica ir matrica, kuras visas īpašvērtības ir pozitīvas; citiem vārdiem, tā vienmēr apmierina vienādojumu $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Nobīdītā inversā iterācija¶

Praktiskā konstrukciju analīzē ar galīgo elementu metodi bieži nav vajadzīgas visas īpašvērtības; parasti pietiek ar dažām zemākajām īpašvērtībām. HEC-MW ir paredzēts liela mēroga problēmām, tāpēc matrices ir lielas un ļoti retas (ar daudziem nulles elementiem). Tāpēc ir svarīgi efektīvi iegūt zemāko modu īpašvērtības.

Ja īpašvērtību apakšējo robežu apzīmē ar $\sigma$, vienādojumu $\eqref{eq:2.3.5}$ pārveido šādi (matemātiski ekvivalenti).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Aprēķinos tam ir šādas ērtas īpašības.

Modu secība ir apgriezta.
Īpašvērtības $\rho$ tuvumā tiek palielinātas.

Praksē bieži vispirms iegūst lielāko īpašvērtību. Tādēļ galveno konverģences aprēķinu piemēro nevis vienādojumam $\eqref{eq:2.3.5}$, bet vienādojumam $\eqref{eq:2.3.8}$, lai vispirms iegūtu īpašvērtības $\rho$ tuvumā. Šo metodi sauc par nobīdīto inverso iterāciju.

Lanczos metode¶

Izvēles iemesls (salīdzinājums ar Jacobi metodi)¶

No klasiskajām metodēm plaši pazīstama ir Jacobi metode.

Šī metode ir efektīva mazām, blīvām matricām. Tomēr HEC-MW matrices ir liela mēroga un retas, tāpēc Jacobi metode netiek izmantota; tā vietā izmanto Lanczos iteratīvo metodi.

Algoritms un īpašības¶

Šo metodi 20. gadsimta 50. gados ierosināja C. Lanczos. Tā ir matricas tridiagonalizācijas algoritms ar šādām īpašībām.

Tā ir iteratīva konverģences metode, kas ļauj saglabāt matricu retu visā aprēķinā.
Algoritma pamatā ir matricas-vektora reizinājumi, tādēļ tas ir piemērots paralelizācijai.
Tā ir piemērota ģeometriskai domēnu sadalīšanai, kas saistīta ar galīgo elementu tīkliem.
Aprēķinu var veikt efektīvi, ierobežojot iegūstamo īpašvērtību skaitu vai modu diapazonu.

Lanczos metode sāk ar sākuma vektoru, secīgi konstruē ortogonālus vektorus un iegūst apakštelpas bāzi. Tiek uzskatīts, ka tā ir ātrāka par citu iteratīvu metodi — apakštelpas metodi — un to plaši izmanto galīgo elementu programmās. Tomēr metode ir jutīga pret skaitļošanas kļūdām; vektoru ortogonalitāte var tikt zaudēta, un aprēķins var sabrukt. Tāpēc kļūdu kontroles pasākumi ir obligāti.

Ģeometriskā nozīme (Krylov apakštelpa)¶

Mainot mainīgos vienādojumā $\eqref{eq:2.3.8}$ šādi,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problēmu pārraksta kā

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

un iegūst

Patvaļīgam vektoram $q_0$ veic lineāru transformāciju ar matricu $A$ (skat. 2.3.2. attēlu).

$Lineāra transformācija ar matricu $A$ vektoram $q_0$$

2.3.2. attēls. Lineāra transformācija ar matricu $A$ vektoram $q_0$

Transformēto vektoru ortogonalizē telpā, ko tas veido kopā ar sākotnējo vektoru. Tas ir, veic tā saukto Gram-Schmidt ortogonalizāciju, kā parādīts 2.3.2. attēlā. Iegūto vektoru apzīmē ar $r_1$, normalizē (garums 1) un iegūst $q_1$ (2.3.3. attēls). Ar tādu pašu algoritmu no $q_1$ iegūst $q_2$. Šeit $q_2$ ir ortogonāls gan $q_1$, gan $q_0$ (2.3.4. attēls). Turpinot šo aprēķinu, var iegūt savstarpēji ortogonālus vektorus līdz matricas maksimālajai kārtai.

$Vektoram $q_0$ ortogonāls vektors $q_1$$

2.3.3. attēls. Vektoram $q_0$ ortogonāls vektors $q_1$

$Vektoriem $q_1$ un $q_0$ ortogonāls vektors $q_2$$

2.3.4. attēls. Vektoriem $q_1$ un $q_0$ ortogonāls vektors $q_2$

Lanczos algoritmā īpaši aplūko vektoru virkni $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

jeb, citiem vārdiem, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

un veic tai Gram-Schmidt ortogonalizāciju. Šo vektoru virkni sauc par Krylov virkni, bet tās radīto telpu — par Krylov apakštelpu. Veicot Gram-Schmidt ortogonalizāciju šajā telpā, nākamo vektoru var iegūt, izmantojot divus iepriekšējos vektorus. To sauc par Lanczos principu.

Tridiagonalizācija¶

Iepriekš minētās iterācijas i+1-to aprēķinu var izteikt kā

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kur

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Šādi iegūst. Matricas pierakstā tas ir

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

kur

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Tātad īpašvērtības iegūst, atrisinot īpašvērtību problēmu tridiagonālajai matricai, kas iegūta vienādojumā $\eqref{eq:2.3.13}$.

Saistītās tēmas¶

Frekvenču atbildes analīze — frekvenču atbilde, izmantojot modālās analīzes rezultātus
Analīzes veidi — modālās analīzes funkcionalitātes pārskats