Dinamiskās analīzes metodes¶

Šajā sadaļā aprakstīta dinamisku problēmu analīzes metode ar tiešo laika integrēšanu. Tālāk sniegti implicitās un explicitās metodes formulējumi.

Kustības vienādojuma diskretizācija (kopīgais ietvars)¶

TBD (pilns teksts tiks pievienots nākamajā posmā).

Implicitā metode (Newmark-β metode)¶

Dinamiskai problēmai zemāk dotā kustības vienādojuma risināšanai izmanto tiešo laika integrēšanas metodi.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Šeit \(M\) ir masas matrica, \(C\) — slāpēšanas matrica, \(Q\) — iekšējo spēku vektors un \(F\) — ārējo spēku vektors. Masas matrica arī nelineārā analīzē tiek pieņemta konstanta un neatkarīga no deformācijas.

Pārvietojuma, ātruma un paātrinājuma izmaiņas laika solī \(\Delta t\) tiek aproksimētas ar Newmark-\(\beta\) metodi, kā parādīts vienādojumos \(\eqref{eq:2.5.2}\) un \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Šeit \(\gamma\) un \(\beta\) ir Newmark-\(\beta\) metodes parametri.

Kā zināms, izvēloties \(\gamma\) un \(\beta\) šādās vērtībās, metode atbilst lineārā paātrinājuma metodei vai trapeces likumam.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineārā paātrinājuma metode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapeces likums)

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.5.2}\) un \(\eqref{eq:2.5.3}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.5.1}\), iegūst

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Lineārai problēmai \(K_L\) ir lineārā stinguma matrica un \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\); ievietojot šo sakarību iepriekšējā vienādojumā, iegūst

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Vietās, kur kā ģeometriskais robežnosacījums ir norādīts paātrinājums, no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.2}\) iegūst šādu pārvietojumu.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Līdzīgi vietās, kur norādīts ātrums, no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.6}\) iegūst šādu pārvietojumu.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

kur \(u_{is}(t+\Delta{t})\) ir mezgla pārvietojums laikā \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ir mezgla ātrums laikā \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ir mezgla paātrinājums laikā \(t+\Delta{t}\), \(i\) ir mezgla brīvības pakāpes numurs un \(s\) ir mezgla numurs. Masas un slāpēšanas locekļi tiek apstrādāti šādi.

Masas locekļa apstrāde¶

Masas matrica principā tiek apstrādāta kā koncentrētās masas matrica.

Slāpēšanas locekļa apstrāde¶

Slāpēšanas locekli apstrādā kā Rayleigh slāpēšanu, ko izsaka vienādojums \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Šeit \(R_m\) un \(R_k\) ir Rayleigh slāpēšanas parametri.

Kartē !DYNAMIC norādītie \(R_m\) un \(R_k\) tiek vienādi piemēroti visam modelim. Ja katram materiālam nepieciešami atšķirīgi \(R_m\) un \(R_k\), attiecīgā materiāla !MATERIAL blokā norādiet karti !DAMPING. Elementiem, kas pieder materiālam ar norādītu !DAMPING, elementa slāpēšanas matricu aprēķina no elementa masas matricas \(M_i\) un tangenciālās stinguma matricas \(K_i\) kā \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) un montē globālajā slāpēšanas matricā. Šī funkcija ir derīga tikai implicitajai metodei.

Explicitā metode (centrālo diferenču metode)¶

Explicitā metode balstās uz zemāk parādīto kustības vienādojumu laikā t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Izsakot pārvietojumus laikā \(t + \Delta t\) un \(t - \Delta t\) ar Taylor izvirzījumu ap laiku \(t\) un saglabājot locekļus līdz otrajai kārtai pēc \(\Delta t\), iegūst

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

No vienādojumu \(\eqref{eq:2.5.3}\) un \(\eqref{eq:2.5.4}\) starpības un summas iegūst

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.5.12}\) un \(\eqref{eq:2.5.13}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.5.9}\), iegūst

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Lineārai problēmai \(Q(t) = K_L U(t)\), un iepriekšējais vienādojums kļūst par

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ja masas matrica \(M\) tiek pieņemta par koncentrētās masas matricu un slāpēšanas matrica par proporcionālās slāpēšanas matricu \(C = R_m M\), vienādojumam \(\eqref{eq:2.5.15}\) nav nepieciešama lineāras vienādojumu sistēmas atrisināšana.

Tādēļ no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) var iegūt šādi.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Saistītās sadaļas¶

Analīzes veidi — dinamiskās analīzes funkciju pārskats un izvēle
Literatūra