Pāriet uz saturu

Newton-Raphson metode

Linearizācija un iterācijas rekurences sakarība

Nelineāro vienādojumu attiecībā pret mezglu pārvietojumu \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) laikā \(t_{n+1}\), kas iegūts sadaļā Ārējo spēku virtuālais darbs un globālo vienādojumu montāža, risina ar Newton-Raphson metodi. Pieņemot, ka mezglu pārvietojums \(\boldsymbol{u}_n\) līdz laikam \(t_n\) ir zināms, bet pārvietojuma pieaugums \(\Delta\boldsymbol{u}\) ir nezināmais, meklē

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

Turpmāk ārējā spēka vektora atkarība no mezglu pārvietojuma tiek ignorēta un, pieņemot \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\), risina

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

šo vienādojumu.

Pieskares stingums pie pašreizējā risinājuma \(\Delta\boldsymbol{u}\) ir

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

Izmantojot to nelineārā vienādojuma linearizācijai, iegūst

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

Apzīmējot \(i\)-tās iterācijas korekciju ar \(d\boldsymbol{u}_i\) un atlikuma vektoru iterācijas sākumā ar

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

iterācijas rekurences sakarība ir

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

Šeit atlikums \(\boldsymbol{R}_i\) ir spēku nelīdzsvara mērs attiecībā pret līdzsvara stāvokli.

Pieskares stinguma matricas veidošana

Pieskares stingumu \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) veido, daļēji diferencējot sadaļā Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija iegūto elementa iekšējo spēku vektoru pēc mezglu pārvietojumiem, integrējot katra elementa integranda locekļus pa elementa apgabalu un tos apkopojot. Apzīmējot elementa līmeņa integrandu ar \(\boldsymbol{K}^e_X\) (atskaites konfigurācijas pieraksts, TL metode) vai \(\boldsymbol{K}^e_x\) (pašreizējās konfigurācijas pieraksts, UL metode), elementa pieskares stingums ir

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

Turpmāk dotas TL/UL integrandu galīgās formas. Abos gadījumos tie sadalās materiāla stinguma locekļa (sākotnējā pārvietojuma locekļa) un ģeometriskā stinguma locekļa (sākotnējā sprieguma locekļa) summā.

Total Lagrange metode

Total Lagrange metodē pieņem lineāru sakarību \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) starp otrā Piola-Kirchhoff sprieguma ātrumu \(\dot{\boldsymbol{S}}\) un Green-Lagrange deformācijas ātrumu \(\dot{\boldsymbol{E}}\). Tā atbilst lineāri elastīgu materiālu (St.Venant-Kirchhoff materiālu) un hiperelastīgu materiālu konstitutīvajiem likumiem, un FrontISTR Total Lagrange metodi izmanto šiem materiāliem. Šajā gadījumā elementa pieskares stinguma integrands tenzoru formā ir

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

Labās puses pirmais loceklis ir materiāla stinguma loceklis (sākotnējā pārvietojuma loceklis), bet otrais — ģeometriskā stinguma loceklis (sākotnējā sprieguma loceklis).

FrontISTR realizācijā šo integrandu aprēķina matricas formā ar Voigt pierakstu:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

Matricas ir šādas. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) ir B matricas, kas ieviestas sadaļā Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija, bet \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) ir konstitutīvā tenzora \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) \(6\times 6\) materiāla stinguma matrica Voigt pierakstā (Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ir pārkārtošanas matricas, ko izmanto, lai ģeometriskā stinguma locekli izteiktu kā matricu reizinājumu. Vispirms definē simbolu \([\,\cdot\,]\), kas otrās kārtas \(3\times 3\) tenzoru \(\boldsymbol{A}\) pārkārto 9 komponentu vektorā:

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

Tad \(\boldsymbol{F}_9\) ir \(9\times d n_e\) matrica, kas deformācijas gradienta variāciju izsaka kā \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\); katram elementa mezglam \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) atbilstošais \(9\times d\) bloks ir

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ ir } 3\times 3 \text{ vienības matrica}) \]

un \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) iegūst, šos blokus horizontāli sakārtojot elementa mezglu secībā. \(\boldsymbol{S}_9\) ir \(9\times 9\) matrica, kas izvēlēta tā, lai kopā ar to ģeometriskā stinguma locekli varētu rakstīt kā \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\):

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Šī matrica ir

Updated Lagrange metode

Updated Lagrange metodē pieņem lineāru sakarību \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) starp relatīvā Kirchhoff sprieguma tenzora Jaumann ātrumu \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) un deformācijas ātruma tenzoru \(\boldsymbol{D}\). Tā ir hipoelastīga konstitutīvā likuma forma, kas kopīga lineāri elastīgiem, elastoplastiskiem un šļūdes materiāliem, un FrontISTR Updated Lagrange metodi izmanto šiem materiāliem. Šajā gadījumā pašreizējā konfigurācijā izteiktais elementa pieskares stinguma integrands tenzoru formā ir

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

(\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) ir Truesdell ātrums, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ir Almansi deformācijas lineārā daļa, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) ir pārvietojuma gradients attiecībā pret pašreizējo konfigurāciju, bet \(\boldsymbol{L}\) ir ātruma gradienta tenzors). Labās puses pirmais loceklis ir materiāla stinguma loceklis, bet otrais — ģeometriskā stinguma loceklis.

FrontISTR realizācijā šo integrandu aprēķina matricas formā ar Voigt pierakstu:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

\(\boldsymbol{b}\) ir pašreizējā konfigurācijā izveidotā B matrica (Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) iegūst no TL metodē definētajām \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\), aizstājot otrā PK spriegumu \(\boldsymbol{S}\) ar Cauchy spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un atskaites konfigurācijas gradientu \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ar pašreizējās konfigurācijas gradientu \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\).

\(\boldsymbol{G}\) ir no Cauchy sprieguma atkarīga korekcijas matrica, kas nepieciešama, lai hipoelastīgo konstitutīvo likumu \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) pieskares stinguma ietvarā saskaņotu ar konstitutīvo likumu, kura pamatā ir Truesdell ātrums. Tā ir ceturtās kārtas tenzora komponenšu \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) \(6\times 6\) Voigt matrica:

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

Šī matrica ir

Globālās stinguma matricas montāža

Globālo pieskares stingumu \(\boldsymbol{K}\) iegūst, sadalot elementa stingumu \(\boldsymbol{K}^e\) mezglu \(d\times d\) blokos \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) un izmantojot otrās kārtas tenzoru montāžas kopu \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\), kas ieviesta sadaļā Elementa mezglu fizikālo lielumu montāža:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

Šo bloku izvietojums \(i_g\) rindā un \(i_h\) kolonnā dod globālo matricu. Realizācijā kopu \(\mathcal{E}^2\) neveido tieši; elementu ciklā vērtības pieskaita atbilstošajiem blokiem. Matrica ir kvadrātiska ar izmēru (brīvības pakāpes mezglā) \(\times\) kopējais mezglu skaits \(n_g\), taču komponentes starp mezgliem, kurus nesaista elements, ir \(0\), tādēļ matrica tiek glabāta retinātā formā.

TL un UL metožu elementa stinguma formas ir vienādas, izņemot atskaites konfigurācijas izvēli (mezglu koordinātas un B matricas avotu) un \(\boldsymbol{G}\) matricas esamību, tādēļ FrontISTR abas realizē ar kopīgu apakšprogrammu.

Iterācijas algoritms

Apkopojot iepriekš minēto, iterācijas sākumā iestata \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) un aprēķina sākotnējo atlikumu \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\). Pēc tam \(i\)-tajā iterācijā veic šādas darbības.

  1. Pie pašreizējā pārvietojuma \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) aprēķina pieskares stingumu \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) pēc procedūras sadaļā Pieskares stinguma matricas veidošana.
  2. Lai ievērotu ģeometriskos robežnosacījumus, pieskares stinguma matricu un atlikuma vektoru modificē brīvības pakāpēm ar uzdotu pārvietojumu, iegūstot \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Ģeometrisko robežnosacījumu apstrāde).
  3. Atrisina lineāro vienādojumu \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) un iegūst korekciju \(d\boldsymbol{u}_i\). Šī darbība bieži aizņem lielāko daļu iteratīvā aprēķina slodzes.
  4. Atjaunina pārvietojuma pieaugumu \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) un atbilstoši aprēķina iekšējo spēku vektoru \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) un atlikumu \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\).
  5. Pārbauda konverģenci un, ja tā sasniegta, iterāciju pabeidz. Tā kā atlikuma \(\boldsymbol{R}_i\) komponentēs brīvības pakāpēm ar ģeometriskiem robežnosacījumiem parādās ierobežojumu reakcijām atbilstoši locekļi, konverģences rādītāju veido no atlikušajām komponentēm \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\). Konkrētie rādītāji un sliekšņi aprakstīti sadaļā Konverģences pārbaude. Ja konverģence nav sasniegta līdz iterāciju limitam, iterāciju uzskata par neveiksmīgu.

Kad iterācija ir konverģējusi, \(\Delta\boldsymbol{u}\) pieskaita \(\boldsymbol{u}_n\), iegūstot uzkrāto pārvietojumu laikā \(t_{n+1}\): \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\); pēc tam pāriet uz nākamo laika soli.

Saistītās tēmas

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status