Tensoru pieraksts un matemātiskie pamati¶

Šajā nodaļā apkopotas tensoru, indeksu un Voigt pieraksta konvencijas, kas tiek izmantotas turpmākajās FrontISTR teorijas rokasgrāmatas nodaļās. Šeit aprakstīti tikai tīri pieraksta noteikumi, kas nav atkarīgi no fizikālo lielumu definīcijām. No konfigurācijas (atsauces/pašreizējās) atkarīgās simbolu konvencijas, kas saistītas ar kontinuuma kustību (lielo un mazo burtu lietojums, materiālā un telpiskā atvasinājuma atšķiršana), ir aprakstītas sadaļā Kustība, deformācija un deformācijas mēri, kur ieviests konfigurācijas jēdziens.

Tensoru pieraksts¶

Vektoru un tensoru pieraksts treknrakstā¶

Rakstības pamatprincips ir šāds: skalārus un vektoru/tensoru komponentus raksta parastā rakstā (piemēram, \(\rho\), \(x_i\)), bet pašus vektoru/tensoru lielumus — treknrakstā (piemēram, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einstein summēšanas konvencija¶

Ja nav norādīts citādi, izmanto Einstein summēšanas konvenciju: ja viens un tas pats indekss vienā loceklī parādās divas reizes, pa šo indeksu summē. Piemēram,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

un tensoru \(\boldsymbol{A}\) un \(\boldsymbol{B}\) reizinājuma \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) \(i,j\) komponents ir

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Indeksu konvencijā, ja nav norādīts citādi, \(i, j, k, l, \ldots\) apzīmē brīvības pakāpju indeksus (trīs dimensijās \(1, 2, 3\)), bet mazie grieķu burti \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) apzīmē elementu veidojošo mezglu indeksus.

Iekšējais reizinājums, transponēšana un tensoru reizinājums¶

Tensora \(\boldsymbol{A}\) transponēto apzīmē ar \(\boldsymbol{A}^T\). Otrās kārtas tensoru \(\boldsymbol{A}\) un \(\boldsymbol{B}\) iekšējo reizinājumu (dubulto kontrakciju) pieraksta kā

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vektoru \(\boldsymbol{a}\) un \(\boldsymbol{b}\) skalārais reizinājums ir \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), bet tensoru reizinājums ir \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt pieraksts¶

Spriegums un deformācija ir simetriski otrās kārtas tensori attiecībā uz brīvības pakāpēm, bet koeficients, kas raksturo lineāro sakarību starp tiem, ir ceturtās kārtas tensors. Tieša šāda tensora apstrāde programmā ir neizdevīga skaitļošanas un programmēšanas ziņā (daudzdimensionāli masīvi un dziļi ligzdoti cikli), tādēļ tipiskās galīgo elementu programmās, izmantojot simetriju, spriegumu un deformāciju saspiež kolonnu vektoros, bet ceturtās kārtas elastības tensoru — divdimensiju matricā. To sauc par Voigt pierakstu.

Turpmāk tensora lieluma \(\boldsymbol{A}\) matricas vai vektora pierakstu apzīmēsim ar \(\hat{A}\), lai to atšķirtu no sākotnējā tensora.

Sprieguma un deformācijas vektoru pieraksts¶

Simetriskam sprieguma tensoram \(\boldsymbol{\sigma}\) un deformācijas tensoram \(\boldsymbol{\varepsilon}\) divdimensiju gadījumā

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

bet trīsdimensiju gadījumā

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

tos apstrādā kā kolonnu vektorus, kā parādīts iepriekš. To pašu noteikumu piemēro atvasinātiem lielumiem, piemēram, variācijām un diferenciāļiem. Ievērojiet, ka bīdes komponentiem deformācijas pusē ir koeficients 2 (sprieguma pusē tā nav). Šīs asimetrijas dēļ tensoru iekšējo reizinājumu var kompakti pierakstīt kā vektoru iekšējo reizinājumu

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Šādā formā to var pierakstīt vienkārši. Implementācijā ir viegli sajaukt bīdes deformācijas komponentu koeficientu 2, tāpēc vienmēr jāievēro konvencija “spriegumam nav / deformācijai ir”. Tieši tādu pašu Voigt konvenciju piemēro lielumiem atsauces konfigurācijā (otrais Piola-Kirchhoff spriegums \(\boldsymbol{S}\) un Green-Lagrange deformācija \(\boldsymbol{E}\)).

Ceturtās kārtas tensora matricas pieraksts¶

Sprieguma un deformācijas lineārajai sakarībai \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponentēs \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), izmantojot \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simetriju, var rakstīt

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Trīs dimensijās, sakārtojot \(\tilde{C}\) kā 6×6 materiāla matricu \(\hat{\tilde{C}}\), sākotnējā tensoru sakarība ir

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Turpmāk šajā rokasgrāmatā, ja nav norādīts citādi, materiāla matricu apzīmē ar \(D\) (vai \(\hat{C}\)). Konkrētos izotropās lineārās elastības komponentus skatiet sadaļā Lineārā elastība.

Diferenciālo operatoru konvencijas¶

Simetriskā gradienta operators¶

Vektoru laukam \(\boldsymbol{u}\) simetriskā gradienta operatoru \(\nabla_S\) definē kā

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponentēs \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Mazu deformāciju deformācijas tensors \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ar šo operatoru izsakāms kompakti. Gradientam izmantotās konfigurācijas (atsauces/pašreizējās) izvēle galīgu deformāciju gadījumā aplūkota sadaļā Kustība, deformācija un deformācijas mēri.

Materiālais laika atvasinājums¶

Lieluma \(A\) materiālo laika atvasinājumu (laika atvasinājumu, sekojot vienam un tam pašam materiālajam punktam) apzīmē ar punktu virs simbola, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Ātrums un paātrinājums ievēro šo konvenciju.

Saistītās tēmas¶

Kustība, deformācija un deformācijas mēri — atsauces/pašreizējās konfigurācijas jēdziens un no konfigurācijas atkarīgās simbolu konvencijas (lielie/mazie burti, materiālais/telpiskais atvasinājums)
Spriegums un saglabāšanās likumi — pamatvienādojumu atvasināšana, izmantojot šo pierakstu
Virtuālā darba princips — vājā forma un Voigt pieraksta lietojums
Lineārā elastība — materiāla matricas \(D\) konkrētā forma
Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija — elementa stinguma aprēķins Voigt pierakstā